Thema: Analytische Geometrie


3D-Koordinatensystem

Punkte: Drei Koordinaten P(x|y|z) oder P(x1|x2|x3)
Ursprung: 0(0|0|0)

x-Achse: Nach „vorne“ (Richtung Betrachter)
y-Achse: Nach rechts
z-Achse: Nach oben

Wenn y und z jeweils zwei Kästchen pro Einheit haben, dann hat x eine Kästchen-Diagonale (und damit um 45° gekippt).

Beispiel: A(1|1|2)

Einstiegsaufgabe: 2D

Stelle das Grundstück mitsamt Haus in einem Koordinatensystem dar. Gib dann die Koordinaten der Eckpunkte des Grundstücks und des Hauses an. (Bäume und Hecke müssen nicht dargestellt werden.)

Danach: Die Dachspitze befindet sich in 6m Höhe. Zudem ist unter der rechten Seite des Hauses ein Keller, der bis in eine Tiefe von 3m geht. Gib die Koordinaten der Dachspitze und einer Ecke des Kellerbodens an.

Lösung

A(||), B(||), C(||), D(||), E(||)

Einstiegsaufgabe: 3D

Überlege dir, wie man das Haus in einem dreidimensionalem Koordinatensystem darstellen könnte und zeichne die Achsen ein (evtl. Haus vorher skizzieren). Entscheide, welche Achse die x-Achse, die y-Achse und die z-Achse sein könnte. Gib dann die Koordinaten der Dachspitze und einer Ecke des Kellerbodens an.



Aufgaben: S. 145 / 1-4


Koordinaten-Ebenen



Aufgaben: S. 146 / 7-9


Vektor



Aufgaben: S. 149 / 2, 3 und S. 150 / 4, 5


Betrag eines Vektors




Abstand zweier Punkte





Aufgaben: S. 151 / 8-10


Vektoren addieren/subtrahieren



Aufgaben: S. 156 / 6-8

Einstiegsaufgabe: Tanzroboter

Auf einer Messe wird ein Tanzroboter vorgeführt. Dieser soll als verlässlicher Tanzpartner zu Trainingszwecken in Tanzschulen eingesetzt werden. Beim Robo-Tanz verfügt der Tanzoboter über folgende Tanzschritte:

Tanzschritt (I): Einen Schritt von 30 cm Länge nach rechts.
Tanzschritt (II): Einen Schritt von 30 cm Länge nach links.
Tanzschritt (III): Einen Schritt von 20 cm Länge nach vorne.
Tanzschritt (IV): Einen Schritt von 15 cm Länge nach hinten.
Tanzschritt (V): Einen diagonalen Schritt von 10 cm vor und 20 cm nach rechts.

Der Roboter ist auf folgende Schrittfolge programmiert:
(I) → (I) → (III) → (IV) → (II) → (V) → (II)

a) Ermittle, wie weit der Tanzroboter danach von seinem Startpunkt entfernt ist.
b) Der Tanzroboter tanzt auf einer rechteckigen Fläche. Bestimme den minimalen Platzbedarf, den er für diese Schrittfolge benötigt.
c) Es soll eine zweite Schrittfolge programmiert werden, die mit Schritt (V) beginnt und am Ausgangspunkt endet. Kläre, ob eine solche Schrittfolge möglich ist. Falls ja, gib sie an.

Lösung

folgt.

Einstiegsaufgabe: Zwei Verschiebungen

Stelle den Punkt A(2|–3|–1) in einem Koordinatensystem dar.

Der Punkt A wird um den Vektor ("AB" ) ⃗ = (■8("1" @"4" @"5" )) verschoben. Berechne die Koordinaten von Punkt B. Zeichne den Punkt B und den Verschiebepfeil von A nach B ein.

Der Punkt B wird wiederum verschoben um den Vektor ("BC" ) ⃗ = (■8("2" @"4" @"1" )) Berechne Punkt C. Zeichne den Punkt C und den Verschiebepfeil von B nach C ein.

Wir gehen nun davon aus, dass wir Punkt A direkt mit beiden Verschiebungen zum Punkt C verschieben, ohne B zu berechnen. Zeichne dafür den Verschiebungspfeil von A nach C ein.

Wie könnten die Koordinaten von ("AC" ) ⃗ mit den beiden Verschiebungen ("AB" ) ⃗ und ("BC" ) ⃗ zusammenhängen? Gib eine Berechnungsmöglichkeit für ("AC" ) ⃗ an.

Gib eine allgemeine Formel an, mit der man zwei Vektoren zusammenrechnen kann.

Lösung

folgt.


Skalarmultiplikation



Aufgaben: S. 160 / 1, 2 und 4


Kollineare Vektoren



Aufgaben: S. 162 / 7, 8 und 9


Linearkombination von Vektoren



Aufgaben: S. 162 / 12, 10 und 13


Geraden

Fürs Verständnis

Fürs Verständnis von Geraden sind zwei Dinge besonders wichtig. Geraden bestehen nämlich hauptsächlich aus einer Kombination dieser beiden.

1. Vektoraddition und der Ergebnisvektor:

2. Skalarmultiplikation zur Verlängerung und Umkehrung eines Vektors:

Einstiegsaufgabe: Flugzeug

Ein Flugzeug wird in einem Koordinatensystem mit der Einheit km von einer Radarstation erfasst. Zu Beobachtungsbeginn befindet es sich im Punkt P(2|5|2). Eine Minute später wird es im Punkt Q(12|-7|3) geortet. Wir gehen davon aus, dass das Flugzeug seine Richtung und seine Geschwindigkeit die ganze Zeit über nicht verändert.

a) Fertige eine einfache Skizze zur Situation an (ohne genaue Koordinaten).
b) Wo befindet sich das Flugzeug nach 3 Minuten?
c) Untersuche, wo es sich eine halbe Minute vor Beobachtungsbeginn befand.
d) Später wird das Flugzeug noch in den Punkten A(82|-91|10) und B(102|-115|18) geortet. Welcher dieser Punkte befindet sich auf der eigentlichen Flugbahn des Flugzeugs?
e) Entscheide, ob das Flugzeug startet, landet oder geradeaus fliegt.

Lösung

folgt.



Zunächst wird vom Ursprung aus ein Stützpunkt A der Geraden durch den Stützvektor \( \vec{0A} \) angesteuert. Von dort aus erstreckt sich der Richtungsvektor \( \vec{v} \) mittels Skalarmultiplikation mit dem Parameter r in beliebiger Länge entlang der Geraden. Somit kann jeder Punkt X auf der Geraden erreicht werden. Durch Addition der Stützvektors und des verlängerten Richtungsvektors erhält man den Ortsvektor \( \vec{x} \).

Die Gleichung einer Geraden erhält damit folgende Gleichung:

So eine Gleichung wird auch „Parametergleichung“ oder „Parameterform“ einer Geraden genannt.

Gerade durch zwei Punkte

Eine Gerade kann im dreidimensionalen Raum eindeutig durch zwei Punkte festgelegt werden. Dabei nutzt man einen Punkt als Stützpunkt (und somit dessen Ortsvektor \( \vec{0A} \) als Stützvektor) und den Vektor von diesem Punkt zum zweiten als Richtungsvektor \( \vec{AB} \).



Beispiel: Gib die Parametergleichung einer Geraden an, die durch die Punkte A(3|1|7) und B(5|2|3) verläuft.

Stützvektor: \( \vec{0A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} \)
Richtungsvektor: \( \vec{AB} = \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ 2 - 1 \\ 3 - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \)
Parametergleichung: g: \( \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \)



Aufgabe: S. 173 / 4


Punktprobe bei Geraden

Um herauszufinden ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt man ihn (genauer: seinen Ortsvektor) in die Geradengleichung für \( \vec{x} \) ein. Wenn es dann einen eindeutigen Parameter gibt (in jeder Zeile der gleiche Wert für r), liegt der Punkt auf der Geraden.



Beispiel: Prüfe, ob die Punkte P(6|–3|4) und Q(8|–4|3) auf der Geraden g: \( \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) liegen.



Punktprobe für P(6|–3|4):

\( \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) liegen.

6 = 2 + r∙2 -> r = 2
-3 = -5 + r∙1 -> r = 2
4 = 6 + r∙(-1) -> r = 2

Da r eindeutig gleich 2 ist, liegt der Punkt P auf der Geraden g.



Punktprobe für Q(8|–4|3):

\( \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 6 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) liegen.

8 = 2 + r∙2 -> r = 3
-4 = -5 + r∙1 -> r = 1
3 = 6 + r∙(-1) -> r = 3

Da r nicht eindeutig ist, liegt der Punkt Q nicht auf der Geraden g.



Aufgabe: S. 173 / 5


Lagebeziehungen von Geraden

Zwei Geraden können in vier verschiedenen Beziehungen zueinander liegen: identisch, parallel, schneidend oder windschief.



Bezüglich der schwarzen Geraden:

Identisch: Richtungsvektoren sind kollinear und der Stützpunkt liegt auf der anderen Geraden (Punktprobe erfolgreich).

Parallel: Richtungsvektoren sind kollinear und der Stützpunkt liegt nicht auf der anderen Geraden (Punktprobe nicht erfolgreich).

Schneidend: Richtungsvektoren sind nicht kollinear. (Weitere Untersuchung folgt noch.)

Windschief: Richtungsvektoren sind nicht kollinear. (Weitere Untersuchung folgt noch.)


Schema für Lagebeziehungen

Um die Lagebeziehung zwischen zwei Geraden g und h herauszufinden, kann man nach folgendem Schema vorgehen:

Aufgabe mit mehreren Geraden

Untersucht werden die Lagebeziehungen zu folgender Geraden:

a: \( \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \)



Frage: Verlaufen die Geraden jeweils in die gleiche oder in eine andere Richtung?

b: \( \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} \)

c: \( \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \)

d: \( \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \)

e: \( \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \)

Antwort: Die Richtungsvektoren von b und von e sind kollinear zum Richtungsvektor von a. Sie verlaufen also in die gleiche Richtung. c und d verlaufen in andere Richtungen.



Frage: b und e verlaufen in der gleichen Richtung wie a. Sind sie jeweils parallel oder identisch mit a?

Zur Unterscheidung wird jeweils eine Punktprobe durchgeführt, indem der Stützvektor in die Gleichung von a eingesetzt wird.

Antwort: b verläuft parallel, weil dessen Stützpunkt nicht auf a liegt. e ist hingegen identisch mit a, weil dessen Stützpunkt auf a liegt und somit die exakt gleiche Gerade beschrieben wird.



(Die weitere Untersuchung von schneidenden und windschiefen Geraden folgt nach der Klausur.)


Skalarprodukt

Die Koordinaten zweier Vektoren werden multipliziert und dann addiert.

\( \vec{a} \)\( \vec{b} \) = axbx + ayby + azbz



Beispiel: Berechne das Skalarprodukt von \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} \) und \( \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \).

4∙2 + 7∙3 + 2∙(-1) = 8 + 21 + (-2) = 27

Das Skalarprodukt von \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) ist also 27.


Orthogonale Vektoren

\( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) sind orthogonal, wenn sie senkrecht zueinander verlaufen. (Quasi das Gegenteil von kollinear, wo sie in der gleichen Richtung verlaufen.)

Das ist der Fall, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt:
axbx + ayby + azbz = 0

Herleitung



Beispiel: Prüfe, ob der Vektor \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} \) orthogonal zu \( \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} \) oder \( \vec{c} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \) ist.

\( \vec{a} \) und \( \vec{b} \):
7∙2 +(-3)∙8 + 5∙2 = 14 + (-24) + 10 = 0
Also sind \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) orthogonal zueinander.

\( \vec{a} \) und \( \vec{c} \):
7∙(-1) +(-3)∙5 + 5∙4 = (-7) + (-15) + 20 = -2
Also sind \( \vec{a} \) und \( \vec{c} \) nicht orthogonal zueinander.



Aufgaben: S. 197 / 1, 2 und 3


Winkel zwischen Vektoren





Winkel zwischen Geraden werden über den Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren berechnet. Ist α über 90°, so muss man 180° – α rechnen (Nebenwinkel).

Beispiel

Beispiel: Berechne den Winkel zwischen \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \) und \( \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \).

Skalarprodukt von \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \):
2∙1 + 4∙3 + 1∙0 = 2 + 12 + 0 = 14

Betrag von \( \vec{a} \):
\( \sqrt{2^2 + 4^2 + 1^2} \) = 4,58

Betrag von \( \vec{b} \):
\( \sqrt{1^2 + 3^2 + 0^2} \) = 3,16

Winkel zwischen \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \):
\( \alpha \) = cos-1 \( (\frac{14}{4,58 \cdot 3,16}) \) = 14,69°

Einstiegsaufgabe

Die Eckpunkte eines Dachgiebels haben die Koordinaten O(6|1|7), L(3|1|5) und R(9|1|5).

1) Stelle die Vektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) auf, die die Dachschrägen von O nach L und von O nach R darstellen.

2) Berechne die Längen der Dachschrägen.

3) Weise mit dem Skalarprodukt nach, dass die Vektoren nicht orthogonal zueinander sind, der Winkel zwischen ihnen also nicht 90° beträgt.

4) Berechne den genauen Winkel zwischen \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) mit der Winkel-Formel. Stelle vorher sicher, dass der Taschenrechner auf Grad eingestellt ist (MODE -> DEGREE).

Lösung

1) \( \vec{OL} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \) und \( \vec{OR} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \)

2) 3D-S.d.P.: Beide sind 3,61 m lang.

3) Skalarprodukt: (-3)∙3 + 0∙0 + (-2)∙(-2) = -9 + 0 + 4 = -5

4) \( \alpha \) = cos-1 \( (\frac{-5}{3,61 \cdot 3,61}) \) = 112°



Aufgaben: S. 203 / 2 und 3

Aufgaben zu Geraden: S. 204 / 8a,b und 11


Ebenen

E: \(\vec{x}\) = \(\vec{a}\) + r∙\(\vec{v}\) + s∙\(\vec{w}\)

Eine Ebene ist wie eine Gerade mit einem zweiten Richtungsvektor.

Beispiel eines Punktes

Mit welchen Parameterwerten gelangt man zum Punkt X in der Ebene?

Beispiel eines Punktes

Mit r = 1,5 und s = 1,5.



Aufgaben: S. 189 / 1 und 4


Ebene durch 3 Punkte

Gesucht ist die Gleichung einer Ebene E, in der die Punkte A( 1 | 2 | 7 ), B( 2 | 8 | 6 ) und C( -5 | 1 | 7 ) liegen.

Vorgehen:
- Stützvektor aussuchen: z.B. \(\vec{a}\) = \(\vec{0A}\)
- beide Richtungsvektoren ausrechnen: \(\vec{v}\) = \(\vec{AB}\) und \(\vec{w}\) = \(\vec{AC}\)

Rechnungen:
\(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}\)
\(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 - 1 \\ 8 - 2 \\ 6 - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix}\)
\(\vec{w} = \begin{pmatrix} -5 - 1 \\ 1 - 2 \\ 7 - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\)

Lösung:
E = \(\vec{x}\) = \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}\) + r\(\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix}\) + s\(\begin{pmatrix} -6 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\)



Aufgabe: S. 189 / 3


Klausurthemen

3D-Koordinaten
- Koordinatensystem zeichnen
- Punkte im Raum (zeichnen sowie ablesen)
- Koordinaten-Ebenen

Vektor
- Von A nach B berechnen
- Länge/Betrag
- Addition und Subtraktion
- Skalarmultiplikation
- Kollinearität prüfen
- Linearkombinationen aufstellen

Geraden
- Geradengleichung (beschreiben sowie aufstellen)
- damit rechnen (wie „Flugzeugaufgabe“)
- Lagebeziehungen untersuchen (gleiche Richtung? Parallel oder identisch?)