Beschreibe mittels des Graphen die Veränderung des Gewichts der Haselmaus. Nutze dazu folgende Fragen:
- Wann ist die Gewichtszunahme am größten/kleinsten?
- Wann verändert es sich nicht?
- Wann wiegt sie am meisten?
- Hat sie nach den 180 Tagen zu- oder abgenommen?
Wasserspeicher
a) Welche Bedeutung hat ein positiver bzw. negativer Wasserfluss für den Inhalt des Wasserspeichers?
b) Bestimme die Wassermenge, die sich nach 2h im Speicher befindet.
c) Bestimme jeweils, wie viel Wasser im Zeitraum 2h bis 5h hinzufließt, sowie zwischen 5h bis 6h und 6h bis 8h abfließt.
d) Um wie viel hat sich die Wassermenge im gesamten Zeitraum verändert?
e) Skizziere den Graphen der gesamten Wassermenge im Speicher im Verlauf der Zeit. Welche Zusammenhänge lassen sich erkennen?
Bestand aus Änderungsraten rekonstruieren
Die Funktion f(x) beschreibt die Änderungsrate einer Größe über dem Intervall [a; b]. (Intervall [a; b] bedeutet soviel wie "Zeitraum von Punkt a bis zum Punkt b".)
Die Änderung über einem Teilintervall entspricht dem Flächeninhalt des zugehörigen Rechtecks.
Flächen unterhalb der x-Achse gelten negativ (orientierte Flächeninhalte).
Die Funktion F(x) beschreibt den Bestand der Größe.
F(a) ist der Anfangsbestand, ab dem die Änderungen beginnen.
Die Summe aller Flächen ergibt die gesamte Änderung des Bestandes. F(b) = F(a) + A1 + A2 + (–A3) + A4
Aufgaben: S. 55 / 1 und 3
Gerade Flächen berechnen
Das Integral einer Funktion, die aus geraden Linien besteht, kann man mit einfacher Geometrie berechnen. Man teilt sie dafür in Rechtecke und Dreiecke auf. Dabei gilt natürlich weiterhin, dass Flächen unterhalb der x-Achse negativ gewertet werden.
Das Integral von 1 bis 14 kann beispielsweise in die dargestellten Flächen aufgeteilt werden. Ihre Summe entspricht dem Wert des Integrals.
Sprich: "Das Integral von a nach b über f von x dx."
Vokabeln a: untere Grenze b: obere Grenze f(x): Integrand x: Integrationsvariable
Der Wert des Integrals (wenn man es ausrechnet) entspricht dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse, wobei Flächen unterhalb negativ gezählt werden.
Sprich: "Das Integral von 0 bis 3 über x hoch 2 dx ergibt 9."
Bedeutet: Zwischen x=0 und x=3 schließt der Graph von x² mit der x-Achse einen Flächeninhalt von 9 ein.
Integrale mit dem GTR berechnen
Möglichkeit 1: Am Graphen
Funktion eingeben: [Y=] …
(Evtl. Window einstellen)
Graph zeichnen: [GRAPH]
Fläche von … bis … berechnen:
[2ND] [CALC]
→ „7: Sf(x)sx“
→ untere und obere Grenze eingeben
Möglichkeit 2: Im normalen Taschenrechner
[ALPHA] [WINDOW]
→ „4: fnInt(“
Integral mit Grenzen eingeben und im Allgemeinen dX
Aufgaben: S. 62 / 12.a) und 13
Weitere Aufgabe: Gegeben sei f(x) = –1/8 x² + 5
a) Skizziere den Graphen auf Papier/Tablet (mithilfe des GTR).
b) Markiere darin den Flächeninhalt über dem Intervall von 0 bis 4.
c) Bestimme den Flächeninhalt mit dem GTR.
d) Ermittle den Flächeninhalt, den der Graph mit der x-Achse einschließt. (schwieriger!)
Aufgaben
Aufgaben Tag 1
S. 73 / 1 (a bis d)
a) \( \int_{\text{0}}^{\text{2}} \) (x3 - 4x) dx = -4
Erläuterung: Integrale geben die Flächenbilanz an. Das bedeutet, dass Werte unterhalb der x-Achse negativ gezählt werden (orientierte Flächeninhalte). Flächeninhalte sind ansich aber immer positiv.
S. 75 / 14
a) [CALC] -> "4:maximum" -> ca. bei x = 94,67 mit y = 16,01
Uhrzeit mit der höchsten Verkehrsdichte ist also ca. 7:35 Uhr.
b) Integral von 0 bis 180: 2328
Zwischen 6 Uhr und 9 Uhr passieren ca. 2328 Fahrzeuge den Messpunkt.
c) Integral von 0 bis 120: 1571
Pro Minute sind das 1571 : 120 = 13,09
Der durchschnittliche Fahrzeugstrom beträgt zwischen 6 Uhr und 8 Uhr ca. 13 Fahrzeuge pro Minute.
Freiwillige Aufgabe
Wie kann man bei 74 / 7 den tatsächlichen Flächeninhalt berechnen?
Lösung folgt nach gemeinsamer Besprechung.
Aufgaben Tag 2
Im Buch Seite 77 lesen und verstehen. Es geht darum tatsächliche Flächeninhalte zu berechnen, ohne dass Flächen unterhalb der x-Achse negativ gezählt werden. Dazu hangelt man sich von Nullstelle zu Nullstelle und rechnet die einzelnen Inhalte positiv zusammen.
In 60 Minuten so viele Aufgaben wie möglich auf Seite 78 lösen. Nutzt dabei den GTR und gegebenenfalls [CALC] -> "2:zero".
Fläche vs. Integral
Der Wert des Integrals kann anders sein als der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse. Das liegt daran, dass Flächen unterhalb der x-Achse für die Bilanz (den End-Bestand) negativ gewertet werden. (Bei der Haselmaus bedeutete das, dass sie in den Bereichen abnimmt.) Flächeninhalte haben aber immer positive Werte und diese Inhalte sind manchmal gefragt.
Der Graph schließt mit der x-Achse eine Fläche ein, die von x = -2 bis x = 4 verläuft:
Der Wert des Integrals ist \( \int_{\text{-2}}^{\text{4}} \)f(x)dx = -0,8
(An dem negativen Wert kann schon erkannt werden, dass es nicht dem Flächeninhalt sondern der Bilanz entspricht.)
Um den tatsächlichen Flächeninhalt zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten.
Möglichkeit 1: Mit Nullstellen
Ermittelt man die Nullstellen der Funktion, so kann man die Fläche in Bereiche oberhalb und unterhalb der x-Achse aufteilen.
Nun kann man die Flächeninhalte einzeln berechnen und ohne Vorzeichen addieren:
Betrachtet man die Funktion im Betrag (also |f(x)|), so werden alle Werte positiv. Dadurch, dass keine Flächen mehr unterhalb der x-Achse liegen können, entspricht das Integral über der Betragsfunktion direkt dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse.
\( \int_{\text{-2}}^{\text{4}} \)|f(x)|dx = 4,13
Im GTR findet man die Betragsstriche bei [MATH] -> [>NUM] -> "1:abs("
Aufgaben: S. 78 / 4 und 7; S. 88 / 4; S. 90 / 1
Fläche zwischen Graphen
Die Fläche zwischen Graphen erhält man, wenn man die Fläche der Differenz beider Funktionen berechnet. Man nennt f(x) – g(x) die Differenzfunktion. Allgemein sind dabei Flächen durch Schnittpunkte begrenzt.
Beispiel: Die Fläche zwischen den Funktionen f(x) = -\(\frac{\text{1}}{\text{8}}\)x3 + 2x und g(x) = -\(\frac{\text{1}}{\text{12}}\)x3 + \(\frac{\text{4}}{\text{3}}\)x
„Die Fläche dazwischen ist die Fläche der Differenz von f(x) und g(x).“
A = \( \int_{\text{a}}^{\text{b}} \)|f(x) - g(x)|dx
Aufgaben: S. 80 / 10 a,b und 9 a,b sowie 82 / 21
Stammfunktion
An den folgenden Graphen kann man den Zusammenhang zwischen dem Verlauf einer Funktion und ihrer Stammfunktion erkennen. Die Funktion gibt jeweils an, wie die Stammfunktion steigt oder fällt (sie ist ihre Ableitung). Umgekehrt ist die Stammfunktion die Flächenbilanz der Funktion. Beispielsweise sagt der Wert F(6) = 3 aus, dass die Funktion im Intervall [0; 6] eine Fläche von 3 Flächeneinheiten mit der x-Achse einschließt.
F(x) ist eine Stammfunktion von f(x), wenn F‘(x) = f(x) gilt. Sie gibt die Flächenbilanz bis zur Stelle x über f(x) an.
Beispiel:f(x) = 4x2 + x + 5 hat die Stammfunktion F(x) = \(\frac{\text{4}}{\text{3}}\)x3 + \(\frac{\text{1}}{\text{2}}\)x2 + 5x + 7
(Das kann man z.B. überprüfen, indem man F(x) ableitet und f(x) dabei herauskommt.)
Stammfunktion bilden („aufleiten“)
Die Exponenten werden jeweils um 1 erhöht und dann als Quotient davor geschrieben. (Andersherum als bei der Ableitung. Dort werden die Exponenten jeweils als Produkt davor geschrieben und dann um 1 verringert.)
f(x) = 4x2 + x + 5
bzw.: f(x) = 4x2 + 1x1 + 5x0
F(x) = f(x) = \(\frac{\text{4}}{\text{3}}\)x3 + \(\frac{\text{1}}{\text{2}}\)x2 + 5x1+ 7
(Es kann eine Konstante Zahl folgen, die beim Ableiten ja wegfallen würde. Allgemein: + c)
Aufgabe
Bilde jeweils die fehlende Stammfunktion durch "aufleiten" oder die ursprüngliche Funktion durch ableiten.
Die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse lässt sich mit dem Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung über die Stammfunktion berechnen:
a) Berechne ohne GTR mit dem Hauptsatz die Fläche zwischen dem Graphen von f(x) = x + 1 und der x-Achse im Intervall von 0 bis 5.
b) Der Graph von g(x) = -x2 + 2x + 3 schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. Bestimme ihren Flächeninhalt.
c) Die Graphen von f(x) und g(x) schließen im Intervall von -1 bis 3 zusammen eine Fläche zur x-Achse ein. Ermittle ihren Flächeninhalt.
d) Die Graphen von f(x) und g(x) schließen zusammen ein Flächenstück ein. Ermittle dessen Flächeninhalt.
Übung 3
Der Wasserstand in einem Hochwasser-Rückhaltebecken kann mit Hilfe eines Ablaufkanals kontrolliert werden. Der Kanal wurde als offener Betonkanal mit parabelförmigem Querschnitt geplant und sein Boden wird durch den Graphen der Funktion f(x) = 0,4x² - 2 in einem Koordinatensystem mit der Einheit Meter modelliert. Die x-Achse entspricht dabei der Oberkante des Kanals. Zur Kontrolle des Wasserflusses wurde ein Metalltor montiert, dessen Querschnitt exakt dem Querschnitt des Kanals entspricht.
Zeichne den Graphen von f und ermittle den Flächeninhalt der Querschnittsfläche.
2.b) (Beim "Bestimmen" ist der GTR erlaubt!)
Funktion eingeben und Graph zeichnen
-> Nullstellen bei -1 und 3
-> \( \int_{\text{-1}}^{\text{3}} \) g(x) dx = 10,67
2.c) Graphen darstellen:
Die Fläche entspricht den blauen Teilflächen, die sich bei der Stelle x = 2 im Graphen abwechseln, der die Fläche zur x-Achse begrenzt.
-> \( \int_{\text{-1}}^{\text{2}} \) f(x) dx + \( \int_{\text{2}}^{\text{3}} \) g(x) dx = 4,5 + 1,67 = 6,17
2.d) Diese Fläche ist hier gesucht:
-> \( \int_{\text{-1}}^{\text{2}} \) g(x) dx + \( \int_{\text{-1}}^{\text{2}} \) f(x) dx = 9 - 4,5 = 4,5
(Diese Fläche könnte man auch mittels Differenzfunktion berechnen.)
3) Zeichnung:
Die Nullstellen liegen bei -2,24 und 2,24.
-> \( \int_{\text{-2,24}}^{\text{2,24}} \) 0,4x2 - 2 dx = -5,96 Antwortsatz: Die Querschnittsfläche des Metalltores beträgt 5,96 m2.
