Thema: Integralrechnung


Die Idee vom Integral

Haselmaus

Beschreibe mittels des Graphen die Veränderung des Gewichts der Haselmaus. Nutze dazu folgende Fragen:

- Wann ist die Gewichtszunahme am größten/kleinsten?
- Wann verändert es sich nicht?
- Wann wiegt sie am meisten?
- Hat sie nach den 180 Tagen zu- oder abgenommen?



Wasserspeicher

a) Welche Bedeutung hat ein positiver bzw. negativer Wasserfluss für den Inhalt des Wasserspeichers?

b) Bestimme die Wassermenge, die sich nach 2h im Speicher befindet.

c) Bestimme jeweils, wie viel Wasser im Zeitraum 2h bis 5h hinzufließt, sowie zwischen 5h bis 6h und 6h bis 8h abfließt.

d) Um wie viel hat sich die Wassermenge im gesamten Zeitraum verändert?

e) Skizziere den Graphen der gesamten Wassermenge im Speicher im Verlauf der Zeit. Welche Zusammenhänge lassen sich erkennen?


Bestand aus Änderungsraten rekonstruieren

Die Funktion f(x) beschreibt die Änderungsrate einer Größe über dem Intervall [a; b]. (Intervall [a; b] bedeutet soviel wie "Zeitraum von Punkt a bis zum Punkt b".)

Die Änderung über einem Teilintervall entspricht dem Flächeninhalt des zugehörigen Rechtecks.

Flächen unterhalb der x-Achse gelten negativ (orientierte Flächeninhalte).



Die Funktion F(x) beschreibt den Bestand der Größe.

F(a) ist der Anfangsbestand, ab dem die Änderungen beginnen.

Die Summe aller Flächen ergibt die gesamte Änderung des Bestandes.
F(b) = F(a) + A1 + A2 + (–A3) + A4



Aufgaben: S. 55 / 1 und 3


Schreibweise für Integrale

\( \int_{\textcolor{var(--orange)}{\text{a}}}^{\textcolor{var(--gruen)}{\text{b}}} \) f(x) dx

Sprich: "Das Integral von a nach b über f von x dx."

Vokabeln
a: untere Grenze
b: obere Grenze
f(x): Integrand
x: Integrationsvariable

Der Wert des Integrals (wenn man es ausrechnet) entspricht dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse, wobei Flächen unterhalb negativ gezählt werden.



Beispiel: \( \int_{\text{0}}^{\text{3}} \) x² dx = 9

Sprich: "Das Integral von 0 bis 3 über x hoch 2 dx ergibt 9."

Bedeutet: Zwischen x=0 und x=3 schließt der Graph von x² mit der x-Achse einen Flächeninhalt von 9 ein.


Bestand aus Änderungsraten rekonstruieren

Möglichkeit 1: Mit dem Graphen

Funktion eingeben: [Y=] …

(Window einstellen)

Graph zeichnen: [GRAPH]

Fläche von … bis … berechnen:
[2ND] [CALC]
→ „7: Sf(x)sx“
→ untere und obere Grenze eingeben



Möglichkeit 2: Direkt

(Im normalen Taschenrechner-Modus)

[ALPHA] [WINDOW]
→ „4: fnInt(“

Integral mit Grenzen eingeben
und im Allgemeinen dX



Aufgaben: S. 62 / 12.a) und 13

Weitere Aufgabe:
Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = –1/8 x² + 5
a) Skizziere den Graphen auf Papier/Tablet (mithilfe des GTR).
b) Markiere darin den Flächeninhalt über dem Intervall von 0 bis 4.
c) Bestimme den Flächeninhalt mit dem GTR.
d) Ermittle den Flächeninhalt, den der Graph mit der x-Achse einschließt. (schwieriger!)