Thema: Integralrechnung


Die Idee vom Integral

Haselmaus

Beschreibe mittels des Graphen die Veränderung des Gewichts der Haselmaus. Nutze dazu folgende Fragen:

- Wann ist die Gewichtszunahme am größten/kleinsten?
- Wann verändert es sich nicht?
- Wann wiegt sie am meisten?
- Hat sie nach den 180 Tagen zu- oder abgenommen?



Wasserspeicher

a) Welche Bedeutung hat ein positiver bzw. negativer Wasserfluss für den Inhalt des Wasserspeichers?

b) Bestimme die Wassermenge, die sich nach 2h im Speicher befindet.

c) Bestimme jeweils, wie viel Wasser im Zeitraum 2h bis 5h hinzufließt, sowie zwischen 5h bis 6h und 6h bis 8h abfließt.

d) Um wie viel hat sich die Wassermenge im gesamten Zeitraum verändert?

e) Skizziere den Graphen der gesamten Wassermenge im Speicher im Verlauf der Zeit. Welche Zusammenhänge lassen sich erkennen?


Bestand aus Änderungsraten rekonstruieren

Die Funktion f(x) beschreibt die Änderungsrate einer Größe über dem Intervall [a; b]. (Intervall [a; b] bedeutet soviel wie "Zeitraum von Punkt a bis zum Punkt b".)

Die Änderung über einem Teilintervall entspricht dem Flächeninhalt des zugehörigen Rechtecks.

Flächen unterhalb der x-Achse gelten negativ (orientierte Flächeninhalte).



Die Funktion F(x) beschreibt den Bestand der Größe.

F(a) ist der Anfangsbestand, ab dem die Änderungen beginnen.

Die Summe aller Flächen ergibt die gesamte Änderung des Bestandes.
F(b) = F(a) + A1 + A2 + (–A3) + A4



Aufgaben: S. 55 / 1 und 3


Gerade Flächen berechnen

Das Integral einer Funktion, die aus geraden Linien besteht, kann man mit einfacher Geometrie berechnen. Man teilt sie dafür in Rechtecke und Dreiecke auf. Dabei gilt natürlich weiterhin, dass Flächen unterhalb der x-Achse negativ gewertet werden.

Das Integral von 1 bis 14 kann beispielsweise in die dargestellten Flächen aufgeteilt werden. Ihre Summe entspricht dem Wert des Integrals.

A1 = (5 ∙ 4):2 = 10 (durch 2 wegen Dreieck)
A2 = 4 ∙ 4 = 16
A3 = (4 ∙ 2):2 = 4
A4 = 4 ∙ 2 = 8

Zusammen: 10 + 16 + 4 + 8 = 38



Aufgaben: S. 56 / 4 bis 9


Schreibweise für Integrale

\( \int_{\textcolor{var(--orange)}{\text{a}}}^{\textcolor{var(--gruen)}{\text{b}}} \) f(x) dx

Sprich: "Das Integral von a nach b über f von x dx."

Vokabeln
a: untere Grenze
b: obere Grenze
f(x): Integrand
x: Integrationsvariable

Der Wert des Integrals (wenn man es ausrechnet) entspricht dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse, wobei Flächen unterhalb negativ gezählt werden.



Beispiel: \( \int_{\text{0}}^{\text{3}} \) x² dx = 9

Sprich: "Das Integral von 0 bis 3 über x hoch 2 dx ergibt 9."

Bedeutet: Zwischen x=0 und x=3 schließt der Graph von x² mit der x-Achse einen Flächeninhalt von 9 ein.


Integrale mit dem GTR berechnen

Möglichkeit 1: Am Graphen

Funktion eingeben: [Y=] …

(Evtl. Window einstellen)

Graph zeichnen: [GRAPH]

Fläche von … bis … berechnen:
[2ND] [CALC]
→ „7: Sf(x)sx“
→ untere und obere Grenze eingeben



Möglichkeit 2: Im normalen Taschenrechner

[ALPHA] [WINDOW]
→ „4: fnInt(“

Integral mit Grenzen eingeben und im Allgemeinen dX



Aufgaben: S. 62 / 12.a) und 13

Weitere Aufgabe: Gegeben sei f(x) = –1/8 x² + 5

a) Skizziere den Graphen auf Papier/Tablet (mithilfe des GTR).
b) Markiere darin den Flächeninhalt über dem Intervall von 0 bis 4.
c) Bestimme den Flächeninhalt mit dem GTR.
d) Ermittle den Flächeninhalt, den der Graph mit der x-Achse einschließt. (schwieriger!)


Aufgaben

Aufgaben Tag 1

S. 73 / 1 (a bis d)

a) \( \int_{\text{0}}^{\text{2}} \) (x3 - 4x) dx = -4

b) \( \int_{\text{1}}^{\text{2}} \) (x4 - 6x2 + 9) dx = 1,2

c) \( \int_{\text{-2}}^{\text{4}} \) 3 dx = 18

d) \( \int_{\text{0}}^{\pi} \) cos(x) dx = 3,14



S. 73 / 2

a) Flächeninhalt: 3,08

b) Flächeninhalt: 1,2

c) Flächeninhalt: 9,42



S. 74 / 7

a) -3,33

b) -0,75

Erläuterung: Integrale geben die Flächenbilanz an. Das bedeutet, dass Werte unterhalb der x-Achse negativ gezählt werden (orientierte Flächeninhalte). Flächeninhalte sind ansich aber immer positiv.



S. 75 / 14

a) [CALC] -> "4:maximum" -> ca. bei x = 94,67 mit y = 16,01
Uhrzeit mit der höchsten Verkehrsdichte ist also ca. 7:35 Uhr.

b) Integral von 0 bis 180: 2328
Zwischen 6 Uhr und 9 Uhr passieren ca. 2328 Fahrzeuge den Messpunkt.

c) Integral von 0 bis 120: 1571
Pro Minute sind das 1571 : 120 = 13,09
Der durchschnittliche Fahrzeugstrom beträgt zwischen 6 Uhr und 8 Uhr ca. 13 Fahrzeuge pro Minute.



Freiwillige Aufgabe

Wie kann man bei 74 / 7 den tatsächlichen Flächeninhalt berechnen?

Lösung folgt nach gemeinsamer Besprechung.



Aufgaben Tag 2

Im Buch Seite 77 lesen und verstehen. Es geht darum tatsächliche Flächeninhalte zu berechnen, ohne dass Flächen unterhalb der x-Achse negativ gezählt werden. Dazu hangelt man sich von Nullstelle zu Nullstelle und rechnet die einzelnen Inhalte positiv zusammen.

In 60 Minuten so viele Aufgaben wie möglich auf Seite 78 lösen. Nutzt dabei den GTR und gegebenenfalls [CALC] -> "2:zero".


Fläche vs. Integral

Der Wert des Integrals kann anders sein als der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse. Das liegt daran, dass Flächen unterhalb der x-Achse für die Bilanz (den End-Bestand) negativ gewertet werden. (Bei der Haselmaus bedeutete das, dass sie in den Bereichen abnimmt.) Flächeninhalte haben aber immer positive Werte und diese Inhalte sind manchmal gefragt.

Betrachtet wird folgende Funktion f(x) = \( \frac{\text{2}}{\text{27}} \)x4 - \( \frac{\text{1}}{\text{3}} \)x3 - \( \frac{\text{2}}{\text{9}} \)x2 + \( \frac{\text{40}}{\text{27}} \)x

Der Graph schließt mit der x-Achse eine Fläche ein, die von x = -2 bis x = 4 verläuft:

Der Wert des Integrals ist \( \int_{\text{-2}}^{\text{4}} \)f(x)dx = -0,8
(An dem negativen Wert kann schon erkannt werden, dass es nicht dem Flächeninhalt sondern der Bilanz entspricht.)

Um den tatsächlichen Flächeninhalt zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten.



Möglichkeit 1: Mit Nullstellen

Ermittelt man die Nullstellen der Funktion, so kann man die Fläche in Bereiche oberhalb und unterhalb der x-Achse aufteilen.

Nun kann man die Flächeninhalte einzeln berechnen und ohne Vorzeichen addieren:

\( \int_{\text{-2}}^{\text{0}} \)f(x)dx = -1,75
\( \int_{\text{0}}^{\text{2,5}} \)f(x)dx = 1,66
\( \int_{\text{2,5}}^{\text{4}} \)f(x)dx = -0,72

Zusammen: 1,75 + 1,66 + 0,72 = 4,13



Möglichkeit 2: Mit Betragsfunktion

Betrachtet man die Funktion im Betrag (also |f(x)|), so werden alle Werte positiv. Dadurch, dass keine Flächen mehr unterhalb der x-Achse liegen können, entspricht das Integral über der Betragsfunktion direkt dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse.

\( \int_{\text{-2}}^{\text{4}} \)|f(x)|dx = 4,13

Im GTR findet man die Betragsstriche bei [MATH] -> [>NUM] -> "1:abs("



Aufgaben: S. 78 / 4 und 7; S. 88 / 4; S. 90 / 1


Fläche zwischen Graphen

Die Fläche zwischen Graphen erhält man, wenn man die Fläche der Differenz beider Funktionen berechnet. Man nennt f(x) – g(x) die Differenzfunktion. Allgemein sind dabei Flächen durch Schnittpunkte begrenzt.

Beispiel: Die Fläche zwischen den Funktionen f(x) = -\(\frac{\text{1}}{\text{8}}\)x3 + 2x und g(x) = -\(\frac{\text{1}}{\text{12}}\)x3 + \(\frac{\text{4}}{\text{3}}\)x

„Die Fläche dazwischen ist die Fläche der Differenz von f(x) und g(x).“

A = \( \int_{\text{a}}^{\text{b}} \)|f(x) - g(x)|dx



Aufgaben: S. 80 / 10 a,b und 9 a,b sowie 82 / 21


Themen der Klausur

Integrale bei "Linien-Diagrammen"
(Rechtecke und Dreiecke)

"Einheiten-Logik"
(Welcher Größe entspricht das Integral bei ...). Siehe S. 56 / 5

Flächenberechnungen mit dem GTR
(Nullstellen, orientierte Flächeninhalte)

Textaufgaben
(größter Teil der Klausur)

(Unterschied: Integral und Flächeninhalt)