Thema: Elektrische Felder


Wiederholungen

Elektrische Ladungen

Es gibt zwei verschiedene elektrische Ladungen: positiv und negativ.
Gleiche Ladungen stoßen sich ab, unterschiedliche ziehen sich an.
(Z.B. zu sehen an elektrostatisch aufgeladenen Luftballons, die sich gegenseitig anziehen bzw. abstoßen.)

Abstoßungs-/Anziehungskraft größer, wenn
- Ladungsunterschied größer
- Abstand kleiner



Coulomb-Gesetz

Stärke der Kraft \(F\), die zwischen zwei Ladungen \(Q_1\) und \(Q_2\) herrscht, die sich im Abstand \(r\) zueinander befinden.

\( F = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r} \)

mit \( \epsilon_0 = 8,854·10^{-12} \) \( {\textnormal{As}}\over{\textnormal{Vm}} \)       "Epsilon-Null"



Größen im Stromkreis

Spannung U in Volt: Energie der fließenden Ladungen.

\( U = \) \( {E}\over{Q} \)

Stromstärke I in Ampere: Anzahl der Ladungen, die pro Zeit fließen.

\( I = \) \( {Q}\over{t} \)

Widerstand R in Ohm : Hemmt den Strom am Fließen.

\( U = R \cdot I \)

Leistung P in Watt: Energie mal den Strom gibt an, wie viel Leistung im Stromkreis ist.

\( P = U \cdot I \)

Analogie zum Wasserkreislauf für eine bessere Vorstellung des Vorgänge im Stromkreislauf.


Elektrisches Feld (kurz E-Feld)

Im Raum um einen elektrisch geladenen Körper besteht ein elektrisches Feld. In diesem wirken auf geladene Körper Kräfte. Sind zwei Körper unterschiedlich geladen, so herrscht zwischen ihnen ein elektrisches Feld, das vom positiv zum negativ geladenen Körper gerichtet ist.


Die grafische Darstellung von E-Feldern nennt man Feldlinienbilder. Die Feldlinien verlaufen immer von der positiven Ladung zur negativen und stehen senkrecht auf den Polen. Sie zeigen für jede Position an, in welche Richtung die Kraft auf eine positive Ladung wirken würde.


Plattenkondensator (kurz Plako)

Aufbau

Zwei parallele Metallplatten werden an eine Spannungsquelle U angeschlossen. Durch die Spannung „kondensieren“ (verdichten) an einer Platte die Elektronen (gesamte Ladung –Q) und an der anderen werden ebenso viele abgezogen (Ladung +Q). Zwischen den geladenen Platten entsteht ein homogenes E-Feld.



Experiment: Stärke des Feldes messen

Es wird ein Kraftmesser mit einer elektrischen Ladung zwischen die Platten gebracht. Für verschiedene Ladungen q wird die Kraft F gemessen, die auf diese Ladung wirkt.

Ergebnis: Ladung und Kraft sind proportional. Der Proportionalitätsfaktor ist die Stärke E des E-Feldes.


Elektrische Feldstärke E

Definition von E

Der Quotient (Proportionalitätsfaktor) aus Kraft und Ladung ist immer gleich und gibt die Stärke des Feldes an.

\( E = \frac{F}{q} \) Einheit: \( [E] = \frac{N}{C} \) "Newton pro Coulomb"



Analogie zur Schwerkraft

\( F = q \cdot E \): Ladung mal Feldstärke
\( F = m \cdot g \): Masse mal Ortsfaktor


E mittels Auslenkung bestimmen

Aufbau

Eine geladene Kugel wird im elektrischen Feld eines Plattenkondensators an einem Faden der Länge L hängend durch die elektrische Kraft um das Stück s ausgelenkt. Die Kugel habe die Masse m und trage die positive Ladung q.



Auswertung

Die Auslenkung erfolgt so weit, bis die resultierende Kraft \( F_R \) aus \( F_G = m \cdot g \) und \( F_E = q \cdot E \) in Verlängerung des Fadens zeigt.

\( E = \frac{s \cdot m \cdot g}{L \cdot q} \)

Herleitung

Für kleine Winkel gilt: sin(a) ≈ tan(a)
\( \frac{s}{L} = \frac{F_E}{F_G} \) -> \( \frac{s}{L} = \frac{q \cdot E}{m \cdot g} \) -> \( \frac{s \cdot m \cdot g}{L} = q \cdot E \) -> \( \frac{s \cdot m \cdot g}{L \cdot q} = E \) \( E = \frac{s \cdot m \cdot g}{L \cdot q} \)



Beispiel

Eine Kugel der Masse m = 0,5 g mit der Ladung q = 1,5 nC hängt an einem l = 2m langen Faden und wird im elektrischen Feld s = 6,0 cm weit ausgelenkt. (g ist 9,81 N/kg) Berechne die Feldstärke E.

\( E = \frac{s \cdot m \cdot g}{L \cdot q} = \frac{0,06 \cdot 0,0005 \cdot 9,81}{2 \cdot 1,5E-9} = 98100 N/C \)



Aufgabe

Ein Kügelchen der Masse m = 0,40 g, das an einem Faden der Länge L = 1,0 m hängt und die Ladung q = 5,0 nC trägt, befindet sich in einem homogenen elektrischen Feld der Stärke E = 70 kN/C.

a) Berechne den Ausschlag s, um den sich das Kügelchen aus der Ruhelage bewegt.

b) Das Kügelchen berührt nun die negativ geladene Platte, trägt dann die Ladung q = −5,0 nC und pendelt in 10 Sekunden zwischen beiden Platten 40mal hin und 40mal her. Berechne die mittlere Stromstärke I.
(Erinnerung: I = „fließende Ladung pro Sekunde“)

Lösung

a) Gegeben: m = 0,40 g, L = 1,0 m, q = 5,0 nC, E = 70 kN/C
Gesucht: s
Formel nach s umstellen und einsetzen: s = 8,9 cm

b) Gegeben: m = 0,40 g, l = 1,0 m, q = 5,0 nC, E = 70 kN/C
Zusätzlich gegeben: n = 40, t = 10 s
Gesucht: I
5,0 nC an Elektronen wird an der negativen Seite aufgenommen und an der positiven abgegeben. Zusätzlich werden 5,0 nC an der positiven abgegeben und an der negativen aufgenommen.
Insgesamt werden in 10 s also 40mal 10 nC transportiert.
I = "Ladung pro Zeit" = 400 nC : 10 s = 40 nA


Zusammenhang zwischen Ladung Q und Stromstärke I

\( I = \frac{Q}{t} \) (Stromstärke ist Ladung pro Zeit)
Wird über eine bestimmte Zeit \( t \) eine Ladung \( Q \) übertragen, so spricht man von elektrischem Strom \( I \). Die Stromstärke gibt dabei an, wie viel Ladung pro Zeit fließt (z.B. wie viel Coulomb pro Sekunde).

Oder umgekehrt:
\( Q = I \cdot t \) (Ladung ist Stromstärke mal Zeit)
Fließt über einen Zeitraum \( t \) ein Strom der Stärke \( I \), so ist insgesamt eine Ladung von \( Q \) geflossen .
Fließt z.B. für 5 Sekunden ein Strom der Stärke 80 mA, so sind dabei 80 mA · 5 s = 400 mC geflossen.


Ladungsmenge Q im Kondensator

Frage

Wie viel Ladung steckt in einem geladenen Kondensator? Und wie findet man das heraus?



Methode

Beide Platten werden über einen Widerstand verbunden. Die Ladung gleicht sich über den Widerstand allmählich aus. Es wird der Strom gemessen, der dabei insgesamt abfließt.
(Der Widerstand soll den Stromfluss etwas verlangsamen, damit man besser messen kann.)



Material

Kondensator (Elko mit 1000 mF oder 470 mF), Widerstände ( \( R_1 \) = 10 k \( \omega \) und \( R_2 \) = 47k \( \omega \) ), Spannungsquelle ( \( U \) = 12 V), Amperemeter, Stoppuhr/Handy



Durchführung

Schaltung aufbauen (Auf Polung achten!). Kontakt für ca. 10 s schließen, um den Kondensator zu laden. Kontakt öffnen, Stromstärke \( I \) anfangs und alle 5 s, später alle 10 s messen.



Auswertung

Ein t-I-Diagramm zur Messung zeichnen. Der Flächeninhalt unter dem Graphen entspricht der gesamten Ladung, die abgeflossen ist. Um sie zu ermitteln, teilt man sie in Rechtecke ein, berechnet deren Flächen und zählt sie zusammen.


Zusammenhang von E mit U und d

Im Plattenkondensator hängt die Stärke des E-Feldes von der anliegenden Spannung \( U \) und dem Plattenabstand \( d \) ab.

\( E = \frac{U}{d} \)

Aufgabe 1

An einem Plako liegt eine Spannung von 2 kV an. Die Platten haben einen Abstand von 5 cm.

Berechne die Stärke des elektrischen Feldes.

Lösung

Gegeben: U = 2 kV, d = 5 cm
Gesucht: E

E = U : d = 40.000 V/m



Aufgabe 2

In einem Plako herrscht ein elektrisches Feld der Stärke 33 kN/C. Die Platten besitzen einen Abstand von 6 cm.

Berechne die Spannung, die an dem Plako anliegt.

Lösung

Gegeben: E = 33 kN/C, d = 6 cm
Gesucht: U

Formel nach U umstellen: U = E ∙ d = 1.980 V


Einflussgrößen für die Feldstärke E

Ladung Q : stärkt E

Grund: Ein größerer Ladungsunterschied zwischen den Platten ergibt eine stärkere Kraft.


Fläche A> : stärkt E

Grund: Es passt mehr Ladung auf die Platten.


Spannung U : stärkt E

Grund: Die Ladung wird stärker auf die Platten "gedrückt".


Plattenabstand d : schwächt E

Grund: Die Kraft zwischen den Ladungen wird schwächer (siehe Coulomb-Gesetz in der Wiederholung oben).


Kapazität C eines Kondensators

Die Kapazität C gibt an, wie viele Elektronen ein Kondensator fassen kann, wenn eine bestimmte Spannung anliegt.



Formel und Einheit

\( Q = \epsilon_0 \cdot \frac{A}{d} \cdot U \)

Da \( \epsilon_0 \cdot \frac{A}{d} \) bei einem Kondensator immer gleich bleibt und darüber bestimmt wird, wie viel Ladung bei einer bestimmten Spannung gespeichert ist, wird es zur Kapazität C zusammengefasst:

\( Q = C \cdot U \)       mit \( C = \epsilon_0 \cdot \frac{A}{d} \)

Einheit: [ \( C \) ] = 1 F ("Farad")
1 F bedeutet, dass bei einer Spannung von 1 V eine Ladung von 1 C gespeichert wird.



Kapazität im U-Q-Diagramm

In einem U-Q-Diagramm entspricht C der Steigung des Graphen.
(Beispiel siehe unten "Aufgabe: Diagramm")

Aufgabe: Zwei Kondensatoren

Vorne stehen zwei Kondensatoren.
Links quadratisch: U = 12 V, d = 0,06 m, A = 0,2 m*0,2 m = 0,04 m²
Rechts rund: U = 4000 V, d = 0,02 m, A = Pi*r² = 0,051 m²

a.) Bestimme die Kapazität der beiden Kondensatoren.

b.) Berechne die Ladung, die in den Kondensatoren gespeichert ist.

c.) Berechne die Stärke des elektrischen Feldes zwischen den Platten.

Lösungen

a.) CL = 5,90 pF, CR = 22,6 pF

b.) QL = 65,4 pC, QR = 90,4 nC

c.) EL = 184,62 V/m, ER = 200.000 V/m



Aufgabe: Diagramm

Das Diagramm zeigt die Ladung zweier Kondensatoren in Abhängigkeit von der Spannung. Bestimme die Kapazitäten C1 und C2 der Kondensatoren.

Lösungen

Die Kapazitäten entsprechen der jeweiligen Steigung:
C1 = 0,5 : 4 = 0,125 F
C2 = 0,25 : 4 = 0,0625 F


Kapazität C bei Abstandsverdoppelung

Abstandsverdoppelung: Aus \( d \) wird \( 2 \cdot d \)



Mit angeschlossener Spannungsquelle

Wenn die Spannungsquelle noch angeschlossen ist, bleibt \( U \) konstant.

Kapazität halbiert sich: \( \epsilon_0 \cdot \frac{A}{2 \cdot d} = \frac{1}{2} C \)

Ladung halbiert sich folglich auch: \( \frac{1}{2} C \cdot U = \frac{1}{2} Q \)

Feldstärke halbiert sich ebenfalls: \( \frac{U}{2 \cdot d} = \frac{1}{2} E \)



Ohne angeschlossene Spannungsquelle

Wenn die Spannungsquelle nicht angeschlossen ist, kann keine Ladung nachfließen. Demnach bleibt \( Q \) konstant.

Kapazität halbiert sich: \( \epsilon_0 \cdot \frac{A}{2 \cdot d} = \frac{1}{2} C \)

Spannung verdoppelt sich folglich: \( Q = \frac{1}{2} C \cdot 2 \cdot U \)

Feldstärke bleibt konstant: \( \frac{2 \cdot U}{2 \cdot d} = \frac{1}{2} E \)



Simulation

Link: Kondensatorlabor



Quiz zur Kondensator-Formel

Link: Quiz bei LEIFIphysik


Schaltung mehrerer Kondensatoren

Frage: Welche Gesamtkapazität ergibt sich, wenn man mehrere Kondensatoren zusammenschaltet?
Entscheidend ist dabei, ob sie parallel oder in Reihe geschaltet sind.



Parallelschaltung

Die Spannung \( U \) ist in einer Parallelschaltung überall gleich: \( U = U_1 = U_2 \)
Auf beide Kondensatoren fließt Ladung: \( Q = Q_1 + Q_2 \)

\( Q = Q_1 + Q_2 \)
\(= C_1 \cdot U_1 + C_2 \cdot U_2 \)
\(= C_1 \cdot U + C_2 \cdot U \)
\(= (C_1 + C_2) \cdot U \)

\( C = C_1 + C_2 \)

Die Kapazitäten addieren sich.



Reihenschaltung

Die Spannung \( U \) teilt sich in Reihe auf: \( U = U_1 + U_2 \)
Auf beiden Kondensatoren ist die gleiche Ladung, da der Strom gleich ist: \( Q = Q_1 = Q_2 \)

\( U = U_1 + U_2 \)
\(= \frac{Q_1}{C_1} + \frac{Q_2}{C_2} \)
\(= \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2} \)
\(= Q \cdot ( \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} ) \)

\( \frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \)

Die Kehrwerte der Kapazitäten addieren sich.


Dielektrikum

Frage: Ändert es etwas am Kondensator, wenn anstatt Luft ein anderes Medium zwischen den Platten ist?

Durch das Medium zwischen den Platten (ein "Dielektrikum") steigt die Kapazität.



Formel

Die Steigerung der Kapazität wird durch einen weiteren Faktor \( \epsilon_r \) in der Formel angegeben, die "relative Permittivität" oder "Dielektrizitätszahl"

\( C = \epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot \frac{A}{d} \)

\( \epsilon_0 \) = 8,854·10-12 gilt weiterhin.



Abhängigkeit vom Material

Vakuum: \( \epsilon_r \) = 1 (genau)
Luft: \( \epsilon_r \) = 1,00059
Glas: \( \epsilon_r \) = 6 bis 8
Methanol: \( \epsilon_r \) = 32,6
Bariumtitanat: \( \epsilon_r \) = 1 000 bis 10 000
Wasser: \( \epsilon_r \) = 1,77


Elektronenkanone

Elektronenkanone bei alten Röhren-Fernsehern



Aufbau und Funktionsweise



Formel für die Geschwindigkeit der Elektronen

\( v = \sqrt \frac{2 \cdot e \cdot U}{m_e} \)

\( e \) = 1,6·10-19 C
\( m_e \) = 9,1·10-31 kg

Herleitung der Formel

Die el. Feldstärke ist \( E = \frac{F}{q} \) bzw. \( F = q \cdot E \)

Außerdem ist sie \( E = \frac{U}{d} \)

Eingesetzt ergibt das \( F = q \cdot \frac{U}{d} \)

Die Energie \( W \) ist allgemein \( W = F \cdot s \) bzw. hier \( W = F \cdot d \)

Und damit \( W = q \cdot \frac{U}{d} \cdot d = q \cdot U \)

Die Bewegungsenergie ist \( W_kin = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \)

Wegen der Energieerhaltung gilt \( W = W_kin \)

Und damit \( q \cdot U = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \)

Umgestellt nach \( v \) ergibt das \( v = \sqrt \frac{2 \cdot q \cdot U }{m} \)



Aufgabe

(Geschwindigkeit eines Elektrons berechnen)

Lösung


Fragenkatalog

Grundlegende Fragen

(Sollten ausführlich beantwortet werden können.)
  1. Was beschreiben E-Felder und was bedeutet die Richtung der Pfeile?
  2. Wie unterscheidet sich ein homogenes Feld von dem einer Punktladung?
  3. Welche Einheit hat die Ladung?
  4. Was bedeutet "elektrische Feldstärke"?
  5. Wie wertet man eine Messreihe aus? (Z.B. bei der Feldstärke)
  6. Wie funktioniert die Bestimmung der Feldstärke mittels Kraftmessung?
  7. Welchen Zusammenhang haben die Ladung und die Stromstärke?
  8. Wie ist die elektrische Spannung definiert?
  9. Welchen Zusammenhang hat die Feldstärke in einem Plako zur anliegenden Spannung?
  10. Wie funktioniert die Elektronenkanone und wie schnell sind die Elektronen?
  11. Wie bestimmt man die Ladung auf einem Kondensator beim Entladen?
  12. Welchen t-I-Zusammenhang hat eine Kondensatorentladung und wie verläuft Graph?
  13. Was bedeutet "Kapazität" bei einem Kondensator?


Ergänzende Fragen

(Sollten zumindest knapp beantwortet werden können.)
  1. Wie leitet man schrittweise anhand zweier Energien die Geschwindigkeits-Formel in der Elektronenkanone her?