Thema: Magnetische Felder


Wiederholung zu Magneten

Stabmagnet

Die Feldlinien veranschaulichen das unsichtbare Magnetfeld. Ein Magnet richtet sich in dem Feld entlang der Feldlinien aus. Das kommt dadurch zustande, dass sich gleiche Pole abstoßen und unterschiedliche Pole anziehen. Es wirken also Kräfte zwischen Polen, die einen beweglichen Magneten ausrichten.



Richtung der Feldlinien

Von Nord nach Süd. (Kraft auf einen magnetischen Nordpol.)

Merksatz:
Rot = Nord
Grün = Süd

Aufgabe

Skizziere die Feldlinien des jeweiligen Magnetfeldes. Beachte dabei auch die richtige Richtung!

Lösung


Magnetfeld durch Strom

In der Vorlesung eines Professors namens Ørsted im Jahre 1820 passierte folgendes:
Er experimentiert mit stromdurchflossenen Leitern und zuvor mit Magneten. Als er einen Magneten in die Nähe eines stromdurchflossenen Leiters bringt, stellt er fest, dass sich der Magnet dadurch bewegt und ausrichtet. Er ändert dann die Polung des Leiters, woraufhin sich auch der Magnet in die andere Richtung ausrichtet.

Fließender Strom erzeugt also ein Magnetfeld.

Anmerkung: Magnetfelder werden grundlos B-Felder genannt.



Video: YouTube-Video zu Ørsted


Linke-Faust-Regel

Um einen stromdurchflossenen Leiter bildet sich ein kreisförmiges Magnetfeld (willkürlich „B-Feld“ genannt).

Linke-Faust-Regel: Umfasst man den Leiter so mit der linken Hand, dass der ausgestreckte Daumen in Flussrichtung der Elektronen zeigt, so zeigen die Finger in Richtung der Feldlinien.


Magnetfeld einer Spule

Ein gleichmäßig aufgewickelter Leiter ergibt eine Spule. Wird sie von Strom durchflossen, so entsteht innerhalb ein homogenes Magnetfeld und außen ein inhomogenes, wie bei einem Stabmagneten.

Aufgabe

In welcher Richtung verläuft das innere Magnetfeld und auf welcher Seite befindet sich der Nordpol des äußeren Feldes? (Hinweis: Nord nach Süd). Überlege an den markierten Stellen und konstruiere den Rest.

Lösung

Mittels der Linken-Faust-Regel entstehen um jeden Leiter kreisförmige Magnetfelder.



Da sie innerhalb der Spule alle in eine Richtung zeigen, ergibt sich ein homogenes B-Feld vom Minus- zum Pluspol.



Außerhalb ergibt sich ein Magnetfeld wie bei einem Stabmagneten. Anhand der Richtung von Nord nach Süd befindet sich beim Minuspol der Südpol und beim Pluspol der Nordpol.


Feldlinienbilder

Mit Eisenspänen können Magnetfelder „sichtbar“ gemacht werden. Die Richtung kann dabei allerdings nicht erkannt werden. Im rechten Bild wird sie so vermutet, dass die Elektronen aus der Bildebene heraus fließen. Man stellt die Richtung aus der Bildebene heraus mit einem Kreis mit Punkt ⊙ (Pfeilspitze; auf einen zu) dar und in die Bildeben hinein mit einem Kreis mit Kreuz ⊗ (Pfeilende; von einem weg).

Aufgabe

In den Abbildungen sind drei Eisenspäne-Bilder dargestellt.

a) Skizziere die Feldlinien, die sich erahnen lassen.

b) Gib den Feldlinien mit Pfeilen eine Richtung und zeichne stromdurchflossene Leiter ein, welche die B-Felder erzeugen.

⊙ Strom fließt nach oben aus der Bildebene heraus.
⊗ Strom fließt nach innen in die Bildebene hinein.

Lösung


Leiterschaukel

Aufbau: Ein Draht wird so an zwei Stromleitungen befestigt, dass er drei schwingen kann. Dann wird er in ein homogenes Magnetfeld gehalten und mit Strom durchflossen.

Ergebnis: Fließt Strom durch den Leiter, so wird die Schaukel ausgelenkt. Es wirkt also eine Kraft auf den Leiter, die sowohl senkrecht zum Magnetfeld als auch senkrecht zur Stromrichtung steht. Kehrt man die Stromrichtung um, kehrt sich auch die Richtung der Kraft um. (Siehe "Drei-Finger-Regel")

Realer Aufbau


Drei-Finger-Regel

Ein stromdurchflossener Leiter erfährt in einem Magnetfeld eine Kraft. Die Richtung der Kraft ergibt sich aus der Drei-Finger-Regel mit der linken Hand, wobei die drei Richtungen rechtwinklig zueinander sind.

Aufgabe

Stoßen sich die beiden parallel verlaufenen Leiter ab oder ziehen sie sich an, wenn Strom fließt?

a)



b)

Lösung

a)
Der obere Leiter erzeugt ein Magnetfeld, das nach der Linken-Faust-Regel auf den unteren aus der Bildebene heraus wirkt. Mittels der Drei-Finger-Regel ergibt sich dann am unteren Leiter eine Lorentzkraft in Richtung des oberen Leiters. Sie ziehen sich also an.
(Man kann es auch in umgekehrter Reihenfolge durchdenken und kommt zum selben Schluss.)

b)
Der obere Leiter erzeugt auch hier ein Magnetfeld, das nach der Linken-Faust-Regel auf den unteren aus der Bildebene heraus wirkt. Mittels der Drei-Finger-Regel ergibt sich dann am unteren Leiter eine Lorentzkraft, die wegen des umgekehrten Stromflusses vom oberen Leiter weg zeigt. Sie stoßen sich also ab.


Experiment: Stromwaage

Frage: Wie viel Kraft übt ein Magnetfeld auf einen stromdurchflossenen Leiter aus?

Aufbau: Ein stromdurchflossener Leiter hängt an einem Kraftmesser und wird in ein homogenes Magnetfeld (z.B. Hufeisenmagnet) gebracht.

Methode:
1.) Bei konstanter Leiterlänge \( s \) die Kraft \( F \) abhängig vom Strom \( I \) messen.
2.) Bei konstantem Strom \( I \) die Kraft \( F \) abhängig von der Leiterlänge \( s \) messen.

Messergebnisse:
1.) Leiterlänge konstant \( s \) = 4 cm.

\( I \) in A 1 2 3 4 5
\( F \) in cN 0,35 0,70 1,08 1,43 1,77

2.) Stromstärke konstant \( I \) = 3 A.
\( s \) in cm 1 2 4 8
\( F \) in cN 0,28 0,53 1,08 2,06

Auswertung: Aus 1.) folgt \( F \sim I \) und aus 2.) folgt \( F \sim s \)
Zusammen: \( F \sim I \cdot s \) bzw. \( F = k \cdot I \cdot s \) mit \( k \) als Proportionalitätsfaktor.

Weiteres folgt

Magnetische Flussdichte B

Die Stärke eines Magnetfeldes wird magnetische Flussdichte genannt. Sie besagt, wie groß die Kraft ist, die auf einen Leiter einer bestimmten Länge wirkt, der mit einem Strom durchflossen wird.

B = \( \frac{F}{I \cdot s} \)

Einheit: [ B ] = 1 T („Tesla“)


Magnetfeld in einer Spule

Einflussgrößen für das Magnetfeld



Weg zur Formel

BI
B ∼ \( \frac{1}{L} \)
Bn

Zusammen: B ∼ \( \frac{I \cdot n}{L} \)

Also: B = \( k \cdot \frac{I \cdot n}{L} \)

Der Proportionalitätsfaktor ist immer gleich und wird \( \mu_0 \) ("Mü-Null") genannt.



B = \( \mu_0 \cdot \frac{I \cdot n}{L} \)

mit \( \mu_0 \) = 1,26·10-12 \( \frac{ \textnormal{Vs} }{ \textnormal{Am} } \)     "Mü-Null"


Magnetische Flussdichte in einer Spule

Im Innern einer Spule herrscht ein homogenes Magnetfeld, wenn sie von el. Strom durchflossen wird. Dessen Stärke ist abhängig von der Stromstärke und dem Aufbau der Spule.

\( B = \mu_0 \cdot \mu_r \cdot \frac{I \cdot n}{L} \)

\( \mu_0 \) = 1,26·10-12 \( \frac{ \textnormal{Vs} }{ \textnormal{Am} } \) "Magnetische Feldkonstante Mü-Null"
\( \mu_r \) "Permeabilität" (Wie die Dielektriziztätszahl beim E-Feld)
\( I \) "Stromstärke"
\( n \) "Windungsanzahl"
\( L \) "Länge der Spule"

\( \mu_r \) ist abhängig vom Material:
Vakuum: \( \mu_r \) = 1 (genau)
Eisen: \( \mu_r \) = 300 bis 10 000
Kobalt: \( \mu_r \) = 80 bis 200
Nickel: \( \mu_r \) = 280 bis 2 500
Legierungen: \( \mu_r \) = Bis 1 000 000


Lorentzkraft

Auf ein sich bewegendes Elektron wirkt in einem Magnetfeld eine Kraft. Sie wirkt senkrecht zur Bewegungsrichtung und zu den Magnetfeldlinien (siehe Drei-Finger-Regel).

\( F_L = q \cdot v \cdot B \)

\( F_L \) "Lorentzkraft"
\( q = e \) = 1,602·10-19 C "Ladung"
\( v \) "Geschwindigkeit"
\( B \) "Flussdichte"

Herleitung

\( B = \frac{F}{I \cdot s} \)

\( F = B \cdot I \cdot s \)
\( = B \cdot \frac{Q}{t} \cdot s \)
\( = B \cdot \frac{N \cdot q}{t} \cdot s \)
\( = B \cdot \frac{N \cdot q}{\frac{s}{v}} \cdot s \)
\( = B \cdot \frac{N \cdot q \cdot v}{s} \cdot s \)
\( = B \cdot N \cdot q \cdot v \)
\( = N \cdot q \cdot v \cdot B \)

Auf eine einzelne Ladung wirkt also \( q \cdot v \cdot B \)

Simulation

Link folgt noch.


Fadenstrahlrohr


(Bild vom Stadtgymnasium Detmold)

Zu erkennen ist eine kreisförmige Bahn, auf der sich die Elektronen bewegen. Sie bringen auf ihrem Weg ein Gas zum Leuchten, so dass man die Bahn sehen kann. Die Flugbahn bekommt also nicht eine weitere Querkomponente hinzu (wie im E-Feld), sondern die Bewegungsrichtung ändert sich vollständig.


Hall-Effekt

Hall-Sonde

Die Stärke eines Magnetfeldes kann indirekt mit einer Hall-Sonde gemessen werden. Dazu wird die Hall-Spannung gemessen, die zwischen Ober- und Unterseite entsteht, wenn Elektronen darin durch das Feld fließen. Diese Spannung wird bestimmt durch das Gleichgewicht zwischen der Lorentzkraft und der elektrischen Kraft.



Formel für die Hall-Spannung

UH = v∙B∙b

Die Hall-Spannung ist demnach proportional zur Stärke des Magnetfeldes.

Herleitung

Kräftegleichgewicht: FE = FL

FE = FL | einsetzen
q∙E = q∙v∙B | E = U/b
q∙U/b = q∙v∙B | :q
U/b = v∙B | ∙b
U = v∙B∙b



Simulation

Link: Hall-Effekt in GeoGebra

(Die Stromstärke etwas erhöhen und dann die magnetische Flußdichte variieren. Dabei mit der Drei-Finger-Regel der linken Hand die Verschiebung der Elektronen klarmachen.)


Induktion

Eine Induktionsspannung Ui entsteht in einem Leiter, der sich in einem B-Feld befindet, aufgrund einer ...

... Bewegung mit Geschwindigkeit v:

Ui = L ∙ v ∙ B

... Flächenänderung \( \frac{\Delta A}{\Delta t} \):

Ui = \( \frac{\Delta A}{\Delta t} \) ∙ B

... Magnetfeldänderung \( \frac{\Delta B}{\Delta t} \):

Ui = A ∙ \( \frac{\Delta B}{\Delta t} \)



Dabei ist alles senkrecht zueinander:
ABLv

Bei einer Spule verstärkt sich die Spannung um die Anzahl der Windungen n.



YouTube-Video 1: Induktion (Formeln)
(Insbesondere ab 9:24)

YouTube-Video 2: Induktion (Experimente)
(Etwas verständlicher)


Fragenkatalog

Grundlegende Fragen

(Sollten ausführlich beantwortet werden können.)
  1. Was passiert mit einer Kompassnadel, die sich in einem Magnetfeld befindet?
  2. In welche Richtung richtet sich eine Kompassnadel aus?
  3. Wie verläuft das Magnetfeld um einen stromdurchflossenen Leiter?
  4. Wie verläuft das Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule innerhalb und außerhalb?
  5. In welche Richtung wirkt die Lorentzkraft bzw. wie funktioniert die Drei-Finger-Regel?
  6. Wie lautet die Formel für die Lorentzkraft?
  7. Wie funktioniert das Experiment mit der Stromwaage?
  8. Wie berechnet man die magn. Flussdichte B in einer mit Luft gefüllten Spule?
  9. In welche Richtung werden freie Elektronen durch die Lorentzkraft bewegt und weshalb kommt es zu kreisförmigen Bahnen?
  10. Warum wirkt keine Lorentzkraft auf freie Elektronen, die sich nicht bewegen? (Anders als beim elektrischen Feld.)
  11. Wie entsteht die Hallspannung?
  12. Wie ist eine Hallsonde aufgebaut?
  13. Wie entsteht eine Induktionsspannung?
  14. Welchen Zusammenhang hat eine zeitliche Veränderung von B mit der Induktionsspannung?


Ergänzende Fragen

(Sollten zumindest knapp beantwortet werden können.)
  1. In welche Richtung zeigen Magnetfeldlinien?
  2. Wie funktioniert das Experiment mit der Leiterschaukel und was kann man daran erkennen?
  3. Was ist die magnetische Permeabilität?
  4. Welche Ähnlichkeiten gibt es zwischen der magnetischen Flussdichte B und der elektrischen Feldstärke E?
  5. Wie wertet man Messdaten bzgl. Proportionalitäten und Antiproportionalitäten aus?