Thema: Quantenobjekte

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Formeln

de-Broglie-Wellenlänge: \(\lambda\) = \(\frac{h}{m \cdot v}\) = \(\frac{h}{p}\)

Quanten-Energie: E = hf

Wellenlänge und Frequenz: \(\lambda\) = \(\frac{c}{f}\)

Gitter-Interferenz: k∙\(\lambda\) = g∙sin(tan-1\((\frac{d}{a}\)))

Elektronengeschwindigkeit: v = \(\sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot U}{m_e}}\)

Elektrische Energie: E = eU

Kinetische Energie: E = \(\frac{\textnormal{1}}{\textnormal{2}}\)mv2

Formelzeichen

\(\lambda\): Wellenlänge in m
f: Frequenz in Hz
E: Energie in J
m: Masse in kg
v: Geschwindigkeit in \(\frac{\textnormal{m}}{\textnormal{s}}\)
p: Impuls in kg\(\frac{\textnormal{m}}{\textnormal{s}}\)
U: Spannung in V

Bei Interferenz:
k = Ordnungszahl
g = Spaltbreite/Gitterkonstante in m
d = Abstand zum Maximum 0. Ordnung
a = Abstand zum Schirm



Konstanten:
h = 6,626 ∙ 10-34 Js
me = 9,1 ∙ 10-31 kg
e = 1,6 ∙ 10-19 C
c = 299.792.458 \(\frac{\textnormal{m}}{\textnormal{s}}\)
c ≈ 300.000 \(\frac{\textnormal{km}}{\textnormal{s}}\)


Nachweis von Quanten

Nachweis am Doppelspalt mit wenig Licht

Ein sehr einfaches Experiment zum Nachweis von Quanten ist das Doppelspalt-Experiment. Die Besonderheit: Man verwendet Filter, um das Licht nahezu vollständig abzuschwächen.

Mit einem guten Licht-Detektor (einer guten Digitalkamera), empfängt man dann plötzlich kein kontinuierliches Interferenzmuster mehr, sondern einzelne Messpunkte. Über lange Dauer ergibt sich dadurch wieder das vollständige Muster. Die einzelnen Messpunkte lassen sich aber nur darüber erklären, dass Licht nicht bloß als Welle aufgefasst werden kann, sondern gleichzeitig Teilchen-Eigenschaften hat. Eine Welle würde schließlich überall am Detektor registriert werden.



Nachweis der Wellen-Eigenschaft bei Elektronen

1959 hat Claus Jönsson es technisch umsetzen können, einen Doppelspalt so klein zu machen, dass er für Elektronen geeignet ist. Nachfolgend sind am Schirm hinterm Doppelspalt registrierte Elektronen dargestellt. (b: 200 El., c: 6 000 El., d: 40 000 El., e: 140 000 El.)

Die registrierten Elektronen zeigen zunächst zufällig erscheinende Positionen auf. Es lässt sich nicht voraussagen, wo ein Elektron registriert werden würde. Erst immer mehr Elektronen weisen eine Verteilung auf, wie sie von interferierenden Wellen zu erwarten sein würde. Elektronen zeigen also gleichzeitig Teilchen-Eigenschaften und Wellen-Eigenschaften. Zudem ist es zwar zufällig, wo sie registriert werden, aber es lässt sich aussagen, dass es Bereiche mit einer besonders hohen Wahrscheinlichkeit gibt (die Intensitätsmaxima) und Bereiche mit einer besonders geringern Wahrscheinlichkeit (die Intensitätsminima).

Aufgabe 1: Interferenzmuster zuordnen

Quantenobjekte werden auf einen Doppelspalt gestrahlt. Hinter dem Doppelspalt befindet sich in etwas Abstand ein Schirm, der die Quantenobjekte registrieren kann. Nachfolgend sind drei Interferenzmuster dargestellt, die bei unterschiedlichen Intensitäten und Belichtungsdauern entstehen. Ordne begründet zu.

A) Interferenzmuster bei reduzierter Intensität und langer Belichtung.

B) Interferenzmuster bei hoher Intensität und beliebiger Belichtung.

C) Interferenzmuster bei reduzierter Intensität und kurzer Belichtung.

Aufgabe 2: Abitur BW 2001

In einer evakuierten Röhre werden Elektronen mit Hilfe einer Spannung beschleunigt. Sie treffen auf einen Doppelspalt mit einem sehr kleinen Spaltabstand (z.B. 1,50 μm). In größerem Abstand (z.B. 20,0 cm) hinter dem Doppelspalt befindet sich eine ebene Platte, auf der sich Elektronen nachweisen lassen.

a) Beschreibe, welche Beobachtung zu erwarten wäre, wenn Elektronen als klassische Teilchen betrachtet würden.

b) Skizziere das nach diesem Modell zu erwartende Versuchsergebnis.

c) Erläutere anhand einer Skizze, welches Ergebnis man tatsächlich bei diesem Experiment erhält.

Aufgabe 3: Nachweis am Doppelspalt

a) Skizziere den Aufbau des Doppelspaltversuchs für Licht-Quanten.

b) Beschreibe kurz die Beobachtung beim Doppelspalt-Versuch mit sehr wenig Licht. Erläutere dann das Problem, welches Physiker damals mit der Beobachtung hatten und weshalb der Versuch ein Beweis für Quanten ist.

c) Ergänze die Bedeutung des Doppelspalt-Versuchs mit Elektronen beim Doppelspalt für den Beweis von Quanten.


Quantenobjekte am Doppelspalt

Doppelspalt-Simulation

Kurze Beschreibung und was man daran beobachten soll.

Hier die Simulation einbetten.

Quelle nennen
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Video von Elektronen am Doppelspalt

Kurze Beschreibung und was man daran beobachten soll.

Hier die Simulation einbetten.

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Was sind Quanten?

Wir können uns nicht vorstellen, was ein Quant ist. Unser Verstand kann sie nicht als Ganzes begreifen, da er auf der Wahrnehmung und Interaktion in unseren Größendimensionen basiert. Die Geschehnisse von Quanten finden jedoch in viel kleineren Dimensionen statt. Wir können aber aufgrund von Messungen Aussagen über sie machen:

Ein Quant ist gleichzeitig ...

"etwas körniges"
(als feste Energieportion zusammengefasstes Teilchen, teilweise mit Masse, teilweise magnetisch und elektrisch, einzeln vorkommend, ...)

"etwas welliges"
(interferiert, ergibt Interferenzmuster, hat eine Wellenlänge und eine Frequenz, ...)

"etwas stochastisches"
(passendste Beschreibung mittels mathematischer Wahrscheinlichkeiten)

Wort-Herkunft: engl. "quantity" = "Anzahl, Menge"
Quantisiert = Energie in bestimmten Mengen zusammengefasst.


Elektronenbeugungsröhre

Aufbau

Elektronen werden im E-Feld einer Elektronenkanone auf einen Graphit-Kristall geschossen. Dieser ist wie unregelmäßig gedrehte Gitter mit zwei verschiedenen Gitterkonstanten aufgebaut. Daher entstehen pro Intensitätsmaximum zwei helle Ringe.



Wellenlängenbestimmung mittels Gitter-Formel

Anhand der Abstände der Ringe zum Hauptmaximum kann mit der Gitter-Formel die Wellenlänge der Elektronen bestimmt werden.

Aufgaben

1.) Beschreibe (auch mithilfe einer Skizze) das Zustandekommen von Ringen bei der Elektronenbeugungsröhre. Gehe dabei auch auf den Graphitkristall als Gitter ein.

2.) Gib mehrere Möglichkeiten an, wie man einen Ring mit einem Radius von 3 cm erzeugen kann.

3.) Berechne anhand ausgewählter Messwerte für beide Gitterkonstanten die Radien der Ringe 2. Ordnung. Begründe, dass man die Ringe 1. Ordnung und 2. Ordnung für beide Gitterkonstanten durch eine Messung mit einem Lineal unterscheiden könnte.


de-Broglie-Wellenlänge

Die Wellenlänge eines Quantenobjekts mit Ruhemasse hängt von seiner Masse und seiner Geschwindigkeit ab.
(Zusammen: m∙v = p „Impuls“)

\( \lambda = \frac{h}{m \cdot v} \)     bzw.     \( \lambda = \frac{h}{p} \)

Planck'sche Konstante: \( h \) = 6,626∙10-34 Js



Herleitung an Messwerten

Der Zusammenhang zwischen der Wellenlänge der Elektronen in der Elektronenbeugungsröhre und ihrer Geschwindigkeit (bestimmt durch die Beschleunigungsspannung UB der Elektronenkanone) wird untersucht.

Die Produktgleichheit \( \lambda \cdot v \) ergibt jeweils ca. das Gleiche und ist damit der Proportionalitätsfaktor. Es zeigt also einen antiproportionalen Zusammenhang. Multipliziert man den Proportionalitätsfaktor mit der Masse der Quantenobjekte, so ergibt sich für alle Quanten die planck'sche Konstante: \( h \) = 6,626∙10-34 Js


\(h\)-Bestimmung mit LEDs

Material

LEDs (IR, Rot, Grün, Blau, UV), Störlichttubus, 2 Multimeter, Netzteil, Kabel

Aufbau


- Auf die jeweils zu untersuchende LED den Störlichtubus stecken.
- Die rote Buchse des Netzteils ist "+".
- Das Amperemeter auf "mA ⎓" stellen und in Reihe über "COM" und "mA" anschließen.
- Das Voltmeter auf "V ⎓" stellen und parallel über "COM" und "V" anschließen.
- Beim Netzteil "CURRENT" ganz aufdrehen und "VOLTAGE" zunächst auf Null stellen. Danach immer nur langsam steigern, da die LEDs bei höheren Spannungen (ca. ab 5 Volt) beschädigt werden können.

Durchführung

Durchführung für IR und UV: (NICHT DIREKT IN DIE UV-LED BLICKEN!) Jeweils das Amperemeter betrachten und langsam bis zur Eintrittsspannung erhöhen, bei der ein Strom zu fließen beginnt.

Durchführung für Rot, Grün und Blau: Jeweils in den Störlichttubus auf die LED blicken und langsam bis zur Eintrittsspannung erhöhen, bei der sie zu leuchten anfängt.

Beobachtung

Halte die Messwerte (LED-Farbe, Wellenlänge und Eintrittsspannung) in tabellarischer Form fest.
Wellenlängen: IR: 921nm, Rot: 632nm, Grün: 514nm, Blau: 463nm, UV: 399nm

Auswertung

- Berechne für jede Wellenlänge die dazugehörige Frequenz mittels \(f = \frac{c}{\lambda}\) und \(c\) = 299.792.458 \(\frac{\textnormal{m}}{\textnormal{s}} \)
- Berechne die jeweilige Energie \(E = e \cdot U\)
- Nun wird ein Gesetz gesucht: Skizziere ein \(\lambda\)-\(E\) und ein \(f\)-\(E\)-Diagramm.
- Entscheide, welcher Zusammenhang proportional ist (und sich somit leichter analysieren lässt).
- Bestimme den Proportionalitätsfaktor entweder über die Steigung einer linearen Regression oder per Quotientengleichheit samt Mittelwert.
- Es sollte eine Ähnlichkeit zu einer wichtigen Naturkonstanten auffallen. Gib die prozentuale Abweichung zu deren Literaturwert an.
- Notiere das Gesetz als Gleichung.
- Gebe dem Gesetz eine möglichst anschauliche Bedeutung.

Abschlussaufgabe

Erläutere in eigenen Worten die experimentelle Bestimmung von \(h\), die hier durchgeführt wurde. Verwende dabei die LEDs als Energiewandler von elektrischer Energie zur Photonenenergie und \(h\) als Proportionalitätsfaktor.

Alternative Ermittlung von U

LEDs senden (anders als Laser) Licht über ein breiteres Wellenlängen-Spektrum. Das macht die Ermittlung der Eintrittsspannung ungenau, da sie schon etwas zu leuchten/leiten beginnt, obwohl sie noch nicht in der vorwiegenden Wellenlänge strahlt. Mit der folgenden Methode soll die Eintrittsspannung (beispielhaft an der grünen LED) genauer ermittelt werden.


Durchführung für Grün: Die LED nach obigem Schaltplan anschließen und beim langsamen und schrittweisen Erhöhen der Spannung die Stromstärke notieren. Nach Erreichen der Eintrittsspannung weiter schrittweise die Spannung (bis max. 5 V) erhöhen und jeweils Messpaare von Spannung und Stromstärke notieren.


Auswertung:
- Die Messwerte in einem \(U\)-\(I\)-Diagramm darstellen.
- Bei höheren Strömen sollte ein linearer Verlauf erkennbar sein. Durch Einzeichnen einer Geraden durch die höheren Messwerte ergibt sich eine Nullstelle auf der \(U\)-Achse. Diese entspricht der Eintrittsspannung der vorwiegenden Wellenlänge.
- Bestimme mit der so ermittelten Eintrittsspannung die Energie der grünen Photonen und mit ihrer Frequenz schließlich den Wert von \(h\).


Energie eines Quants

Licht wird in Portionen mit folgender Energiemenge ausgesendet:

E = hf

Die Energie dieser sogenannten "Photonen" ist also porportional zu ihrer Frequenz. Der Proportionalitätsfaktor entspricht der plank'schen Konstanten h = 6,626 ∙ 10-34 Js.

Es gilt weiterhin die Umrechnung \(\lambda\) = \(\frac{c}{f}\) mit \(c\) = 299.792.458 \(\frac{\textnormal{m}}{\textnormal{s}} \)


Fragenkatalog

Grundlegende Fragen

(Sollten ausführlich beantwortet werden können.)
  1. Welches Interferenzmuster entsteht bei geringer und welches bei hoher Intensität?
  2. Was bedeutet es, das Interferenzmuster von einzelnen Photonen (oder Elektronen) "stochastisch" zu deuten?
  3. Wie ist die Elektronenbeugungsröhre aufgebaut?
  4. Wie lässt sich das Zustandekommen der zwei Ringe bei der Elektronenbeugungsröhre erklären?
  5. Was hat die Elektronenbeugungsröhre mit einem Transmissionsgitter zu tun?
  6. Wie kann man die Antiproportionalität zwischen der Wellenlänge und seiner Geschwindigkeit eines Quantenobjekts mit der Elektronenbeugungsröhre ermitteln?
  7. Wofür nutzt man die de-Broglie-Gleichung und wie lautet sie?
  8. Wie lässt sich mit LEDs die Planck'sche Konstante h bestimmen?
  9. Was hat das LED-Experiment mit der Vorstellung von Lichtquanten (Photonen) zu tun?
  10. Zwischen welchen Größen ist die Planck'sche Konstante h der Proportionalitätsfaktor?
  11. Wie berechnet man die Energie von Photonen?
Lösungen: Grundlegende Fragen
  1. Bei geringer Intensität entsteht ein Muster mit zufällig gestreuten Punkten. Bei hoher Intensität verteilen sich die Punkte wie bei einem Interferenzmuster mit Licht am Doppelspalt. D.h. es entsteht in der Mitte ein große Ansammlung und symmetrisch darum abwechselnd weniger (Minima) und wieder mehr (Maxima) Punkte.
  2. Was bedeutet es, das Interferenzmuster von einzelnen Photonen (oder Elektronen) "stochastisch" zu deuten? Es bedeutet, dass nicht genau vorausgesagt werden kann, wo ein Photon/Elektron registriert werden wird. Jedoch können Bereiche angegeben werden, in denen es wahrscheinlicher oder unwahrscheinlicher ist. Die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich aus dem Interferenzmuster von Licht mit seinen Maxima und Minima.
  3. Aus einer Elektronenkanone werden Elektronen mit der Beschleunigungsspannung geschossen. Diese treffen auf einen Graphit-Kristall, der wie sehr viele ungeordnete Gitter aufgebaut ist, die zwei verschiedene Gitterkonstanten haben können. Nachdem passieren des Kristalls treffen die Elektronen in etwas Abstand auf einen Leuchtschirm, der bei Kontakt kurz zum Leuchten angeregt wird.
  4. Das überhaupt Ringe entstehen, liegt daran, dass die Kristalle ungeordnet sind. Zudem besitzen sie zwei verschiedene Gitterkonstanten. Deshalb ergeben sich pro Ordnung zwei Maxima.
  5. Der Graphit-Kristall in der Elektronenbeugungsröhre wirkt für die Elektronen wie ein Gitter. Sie beugen sich daran und erzeugen dahinter ein Interferenzmuster wie bei einem Gitter. Dadurch, dass die Elektronen den Kristall passieren und nicht reflektiert werden, ist es wie bei einem Transmissionsgitter anstatt eines Reflexionsgitters.
  6. Durch Messung der Ringradien kann man mittels der Geometrie der Röhre die Wellenlänge berechnen, wie es bei einem Gitter üblich wäre. Die Geschwindigkeit kann man über die Beschleunigungsspannung an der Elektronenkanone ermitteln. Eine Antiproportionalität würde dann ein immer gleiches Produkt von Wellenlänge und Geschwindigkeit ergeben. (Siehe de-Broglie-Gleichung. Das Produkt der beiden ergebe immer den Wert h/m.)
  7. Um die Wellenlänge von sich bewegenden Objekten zu berechnen. (Formel siehe oben.)
  8. Die Planck'sche Konstante h ergibt sich aus dem Quotienten von Energie und Frequenz. Die Frequenz entspricht dabei der Farbe des ausgesendeten Lichts und die Energie erhält man beispielsweise über die Eintrittsspannung U, bei der die LED gerade zu leuchten beginnt, und die Formel EEl = e∙U.
  9. Die Lichtquanten zeigen bei LEDs nur ganz bestimmte Energiemengen, die proportional zu ihrer Frequenz sind. Sie ergeben sich aus der Bandlücke im Halbleitermaterial der LED. Es ist eine typische Eigenschaft von Quanten, dass sie nur bestimmte (man sagt "diskrete") Energiemengen annehmen und nennt sie deswegen manchmal auch "Energiehäppchen".
  10. Zwischen der Energie von Quantenobjekten und ihrer Frequenz. (Bei de-Broglie auch zwischen der Wellenlänge und dem Kehrwert des Produktes von Masse und Geschwindigkeit.)
  11. Mit der Formel E = hf

Ergänzende Fragen

(Sollten zumindest knapp beantwortet werden können.)
  1. Was hat die Reduzierung der Lichtintensität beim Doppelspalt mit der Bestätigung von Quanten zu tun?
  2. Wieso verwendet man die Gitter-Formel bei der Elektronenbeugungsröhre und wie lautet sie?
  3. Wie schnell fliegen die Elektronen aus der Elektronenkanone?
  4. Was versteht man physikalisch unter "Impuls"?
  5. Wie untersucht man mathematisch antiproportionale bzw. proportionale Zusammenhänge?
  6. Welche Möglichkeiten gibt es, einen Proportionalitätsfaktor zu bestimmen?
Lösungen: Ergänzende Fragen
  1. Wenn die Lichtintensität so weit verringert wird, dass sie gerade fast nicht mehr feststellbar ist, zeigt sich kein kontinuierliches Interferenzmuster mehr, sondern einzelne Messpunkte. (Siehe ganz oben beim Nachweis von Quanten.)
  2. Weil der Graphit-Kristall wie ein Transmissionsgitter wirkt. Sie lautet: k∙\(\lambda\) = g∙sin(tan-1\((\frac{d}{a}\)))
  3. Die Geschwindigkeit ist abhängig von der angelegten Beschleunigungsspannung und kann berechnet werden: v = \(\sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot U}{m_e}}\)
  4. Impuls ist das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit: p = mv
  5. Man überprüft die zu untersuchenden Messgrößen auf Produkt- oder Quotientengleichheit.
  6. Man bildet das Produkt bei Antiproportionalität oder den Quotient bei Proportionalität.

Scale of the universe

In dieser Simulation kann man sich die Skalierungen unseres Universums veranschaulichen. Zoome an Mäusen, Bakterien und Atomen vorbei hinein bis zur Planck-Länge oder hinaus bis zum Rand des Universums.

Link: Scale of the universe
(Das Starten kann ein wenig dauern.)