Aufträge dazu:
1.) Beschreibe die jeweilige Schwingung in Worten.
2.) Was haben alle gemeinsam?
3.) Was ist unterschiedlich?
4.) Welche mathematischen Größen gibt es?
Zusammenfassung
Eine Schwingung ist eine Bewegung, die sich periodisch nach gleichen Zeiten wiederholt und dabei durch ihre Ruhelage verläuft. Den schwingenden Körper nennt man Oszillator.
Aufgabe: EKG
Die Periodendauer bei den im Bild aufgezeichneten Herzschlägen sei T = 0,75 s.
Berechne daraus die Herzfrequenz f in 1/s (die Einheit nennt man auch Hz, Hertz) und in 1/Min.
Lösung
f = \(\frac{1}{T}\) = \(\frac{1}{0,75 s}\) = 1,33 Hz
1,33∙60 = 80 1/Min
Harmonische Schwingung
Man nennt eine Schwingung harmonisch, wenn man sie mit einer Sinuskurve beschreiben kann. Den schwingenden Körper nennt man Oszillator. Er schwingt in gleichblebender Dauer von Umkehrpunkt durch die Ruhelage zu Umkehrpunkt Hin und Her.
In der Abbildung ist der sinusförmige, zeitliche Verlauf der Auslenkung s eines schwingenden Feder-Masse-Pendels dargestellt. Gib ungefähr die Amplitude, die Periodendauer und die Frequenz an.
Lösung
ŝ = 6 T = 1π f = 1/π
Aufgabe 2: Sinuskurve auslesen
Stelle eine harmonische Schwingung mit einer Amplitude von 2 cm und einer Frequenz von 4 Hz in einem t-s-Diagramm grafisch dar. (Tipp: Frequenz in Periodendauer umrechnen.)
Lösung
Aufgabe 3: Aussagen
Gib an, ob die Aussage über eine Schwingung richtig oder falsch ist. Begründe deine Entscheidung.
1.) Das Zeit-Orts-Diagramm einer periodischen Bewegung muss einen sinusförmigen Verlauf haben.
2.) Bei einer periodischen Bewegung muss mehrmals die Geschwindigkeit Null vorkommen.
3.) Die Bewegung der Erde um die Sonne ist eine Schwingung.
4.) Eine Schwingung kann man immer auch als periodische Bewegung bezeichnen.
5.) Bei einer harmonischen Schwingung muss mehrmals die Geschwindigkeit Null vorkommen.
Sinusfunktion
Einfachste Gleichung
Die einfachste Sinusfunktion lautet: s(t) = sin(t)
Damit kann man die Elongation s eines harmonisch schwingenden Oszillators mit einer Amplitude von ŝ = 1 und einer Periodendauer von T = 2π berechnen, der genau zum Zeitpunkt t = 0 anfängt zu schwingen.
Allgemeine Gleichung
Den Gefallen, so einfach zu sein, tun uns die meisten Oszillatoren nicht. Sie haben andere Werte, mit denen wir die Sinusfunktion anpassen müssen. Sie lautet dann:
Eine Kosinusfunktion ist eine Sinusfunktion, die um die Phase Δφ = ½π verschoben wurde.
Umrechnung: Grad und Bogenmaß
Bogenmaß = Grad ∙ π : 180
Grad = Bogenmaß ∙ 180 : π
Aufgabe 1: x-y-Diagramm
Die Abbildung zeigt das x-y-Diagramm einer harmonischen Schwingung. Ermittle ...
a) die Periodendauer.
b) die Zeitpunkte innerhalb der ersten 10 s, zu denen die Auslenkung maximal positiv ist.
c) die Auslenkung zu den Zeiten 0,5 s, 2,0 s, 2,5 s und 16,5 s.
Aufgabe 2: Daten einer Schwingung
Die Abbildung zeigt das x-y-Diagramm einer harmonischen Schwingung. Bestimme ...
a) aus dem Graphen die Schwingungsdauer der Schwingung.
b) die Amplitude der Schwingung.
c) die Zeiten, in denen im skizzierten Abschnitt absolute Maxima und Minima auftreten.
Aufgabe 3: Drehzahl eines Motors
Ein Pkw-Motor habe die Drehzahl von 4000 Umdrehungen pro Minute.
a) Berechne die Frequenz des Motors in der Einheit Hertz.
b) Berechne die Umlaufdauer des Motors.
Oszilloskop ablesen
Folgt mit Bild
Auftrag: Federpendel
An einem Federpendel (genauer Feder-Masse-Pendel) betrachten wir die harmonische Schwingung. Für diese gibt es nämlich noch eine weitere Definition. Bislang gilt: Eine Schwingung ist harmonisch, wenn ihr zeitlicher Verlauf einer Sinuskurve entspricht.
Dabei müssen wir uns an die Federkonstante D und das Hookesche Gesetz erinnern (8. Klasse). Das Gute: In zwei Videos wird alles erklärt. Ihr sollt sie euch ganz ansehen und dabei mindestens nachfolgend aufgeführte Inhalte notieren. Anschließend sind zwei Aufgaben zu lösen.
Notieren:
- Alternative Definition einer harmonischen Schwingung.
- Formel für die Rückstellkraft F bei einer Feder.
- Formel für die Schwingungsdauer T beim Federpendel.
Ein Federpendel besteht aus einer Feder mit D = 5,0 N/cm und einem Körper mit m = 500 g.
a) Berechne daraus, wie lange einmal hin-und-her-schwingen dauert.
b) Begründe mathematisch oder physikalisch, ob sich die Periodendauer auf dem Mond ändern würde. (knifflig!)
Aufgabe 2: Zwei Federn
Eine Kugel mit der Masse m = 40 g befindet sich zwischen zwei gleichen, horizontal angeordneten Federn. Die Kugel wird mit der Kraft F = 9 N um die Strecke s = 18 cm aus der Ruhelage ausgelenkt und dann losgelassen, sodass sie zu schwingen beginnt (siehe Bild).
a) Berechne die Federkonstante.
b) Berechne die Dauer einer Periode.
c) Um welchen Faktor ändert sich die Periodendauer, wenn die Masse der Kugel verdoppelt wird?
Federpendel
Lineares Kraftgesetz: Formel für die Rückstellkraft F:
Mit diesem kleinen Experiment wird die Unabhängigkeit der Schwingungsdauer bzw. Frequenz von der Amplitude bestätigt, damit die Amplitude nachfolgend nicht mehr beachtet werden muss.
1.) Nehmt euch ein Lineal und legt es etwa zur Hälfte auf den Tisch. Drückt es mit einer Hand fest darauf. Lenkt dann das freie Ende aus seiner Ruhelage aus. Hört euch die Tonhöhe für verschieden starke Auslenkungen an.
2.) Legt das Lineal etwa zu Dreiviertel auf den Tisch und erzeugt nochmals Töne bei verschieden starken Auslenkungen. Wiederholt dies für weitere Lineallängen.
3.) Die „Höhe eines Tones“ ist von seiner Frequenz abhängig. Woran kann man bei diesem Experiment erkennen, dass die Schwingungsdauer unabhängig von der Amplitude ist? Beschreibt und notiert.
4.) Freiwilliger Zusatz: Begründet, warum besonders hohe Töne nur relativ leise sein können.
Lösung
Zwischen der Frequenz des Tones und der Amplitude existiert also kein Zusammenhang.
Hauptexperiment
Es sollen drei unterschiedliche Federn mit drei unterschiedlichen Massen bestückt werden und schwingen. Dabei soll die jeweilige Schwingungsdauer gemessen werden, um einen Zusammenhang dazwischen zu erhalten. Arbeitet dafür in drei Teams.
1.) Jedes Team hat eine Feder. Bestimmt für eure Feder die Federkonstante D, so dass wir zusammen alle drei Federkonstanten D1 bis D3 erhalten. (F = D∙s)
2.) Messt möglichst genau die Schwingungsdauern der drei Massestücke, die ihr pro Team habt. (nur eA: Messungenauigkeiten beachten!)
3.) Sammelt alle Werte in einer gemeinsamen Tabelle wie der folgenden.
4.) (Erst möglich, wenn alle Schritt 3 haben.) Zeichnet ein \(sqrt{m}\)-T-Diagramm und ein \(\sqrt{\frac{1}{D}}\)-T-Diagramm und überprüft beide auf Proportionalitäten. Beantwortet dabei auch die Frage, weshalb \(\sqrt{m}\) und \(\sqrt{\frac{1}{D}}\) anstatt m und D als Skalierung für die x-Achse verwendet werden.
5.) Ermittelt den Proportionalitätsfaktor zwischen \(\sqrt{\frac{m}{D}}\) und T.
Aufgabe 1: Federpendel
Eine Schraubenfeder wird mit einer Masse von m = 120 g belastet. Dabei dehnt sich die Feder um 10 cm aus. Nun wird die Feder um weitere 3 cm ausgelenkt und losgelassen.
a) Berechne die Periodendauer T und Frequenz f der auftretenden Schwingung.
b) Zeichne das s-t-Diagramm der Schwingung für 2 volle Schwingungen unter der Voraussetzung s(0) = ŝ.
Aufgabe 2: Feder- und Fadenpendel
a) An einer vertikal hängenden Schraubenfeder mit der Federkonstante 2,10 /m befindet sich ein Körper mit der Masse 75,0 g. Berechne die Schwingungsdauer dieses Feder-Masse-Pendels.
b) Eine Schraubenfeder, die an einem Haken aufgehängt ist, hat die Federkonstante 10,0 N/m. An die Feder wird ein Körper gehängt, dessen Masse so gewählt ist, dass das Feder-Schwere-Pendel eine Schwingungsdauer von 1,50 s hat. Berechne die Masse des Körpers.
c) Ein Körper mit der Masse 300 g hängt an einer Schraubenfeder. Er führt Schwingungen aus, die Schwingungsdauer beträgt 1,56 s. Berechne die Federkonstante der Schraubenfeder.
d) Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede herrschen zwischen einem Feder-Masse-Pendel und einem Fadenpendel?
Fadenpendel mathematisieren
Frage: Schwingt ein Fadenpendel harmonisch?
Wie kann man das herausfinden? Mit Mathematik!
Zunächst werden die mathematischen Größen beim Fadenpendel identifiziert und benannt:
α: Auslenkwinkel L: Fadenlänge s: Ausgelenkte Strecke
Dann werden die teilnehmenden Kräfte und ein Kräfteparallelogramm eingezeichnet.
Für kleine Winkel α verhält es sich also wie bei einer Sinuskurve und ist demnach harmonisch. Die Federkonstante setzt sich dann aus den Konstanten m, g und L zusammen.
Abitur-Aufgabe: 2018 AI, Aufgabe 1
(nur eA) Resonanz
(Im Unterricht wurde ein Experiment zur Resonanzkurve bei Ultraschall durchgeführt.)
Jeder Oszillator hat eine vom System abhängige Eigenfrequenz fE. Sie entspricht der Frequenz, mit der er nach einer einzelnen Anregung selbst schwingt. Wird er andauernd in dieser Frequenz angeregt, so steigert sich die Amplitude ŝ der Schwingung immer weiter. Dies nennt sich „Resonanz“.
Amplituden ŝ in Abhängigkeit der Erregerfrequenz f:
Bei dem Schalter in Position 1 wird der Kondensator aufgeladen.
Wird er danach auf Position 2 umgeschaltet, so entlädt sich der Kondensator über die Spule. Bei Beginn des Stromflusses durch die Spule wird ein Magneteld induziert, das dem Stromfluss entgegenwirkt. Wenn der Kondensator entladen ist, ist das Magnetfeld maximal. Da kein Strom mehr fließt, baut sich das Magnetfeld wieder ab, was einen Stromfluss induziert. Dadurch wird der Kondensator umgekehrt aufgeladen. Anschließend wiederholt sich dieser Vorgang, wobei jedes Mal die Richtung gewechselt wird.
Ohne elektrischen Widerstand wiederholt sich dies unendlich, real nehmen allerdings die Amplituden mit der Zeit ab.
Experiment
Es soll die Abhängigkeit der Frequenz des Schwingkreises von der Kapazität des Kondensators untersucht werden.
Ergebnisse bei drei verschiedenen Aufbauten:
Bei C1 = 470 µF: T1 = (9,3 ± 0,1) : 2,5 s = 3,72 s f1 = 1/T1 = 0,27 Hz
Bei C2 = 47 µF: T2 = (7,5 ± 0,1) : 7 s = 1,07 s f2 = 1/T2 = 0,93 Hz
Bei C3 = 10 µF: T3 = (4,4 ± 0,025) : 9 s = 0,49 s f3 = 1/T3 = 2,05 Hz
Endgültige Formel: f = \(\frac{1}{2\pi}\)∙\(\frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}\)
Abitur-Aufgabe: 2021 AI, Aufgabe 1
(nur eA) Energieumwandlungen beim Federpendel
Im folgenden werden die Energieumwandlungen beim Feder-Masse-Pendel anhand einer Simulation untersucht.
Vorbereitung
- Auf den Link gehen
- "Energie" wählen
- unten rechts auf "Langsam" wechseln
- oben rechts "Gleichgewicht Masse" aktivieren
- mittig rechts "Gravitation" auf Keine verstellen
- mittig rechts "Dämpfung" auf Keine verstellen
- Massestück an die Feder hängen
- Massestück bis zur "Höhe = 0 m" ziehen
- unten links am "i" mit den Energieformen vertraut machen
(Nutze im Folgenden zur Vergleichbarkeit immer als Startzeitpunkt, wenn das Massestück ganz oben ist.)
1) Beschreibe die Energieumwandlungen für eine volle Schwingung mit eigenen Worten.
2) Nenne die Zeitpunkte, die zu den unten dargestellten Energie-Konten passen.
3) Stelle mittig rechts die "Dämpfung" auf einen kleinen Wert. Beschreibe die Auswirkung auf die Schwingung und die Energien.
4) Skizziere ein t-s-Diagramm für zwei volle Schwingungen.
5) Skizziere darin ergänzend einen t-v-Graphen.
6) Skizziere in einem weiteren Diagramm mit gleicher Zeiteinteilung einen t-Ekin- und einen t-Espann-Graphen.
Lösungen
1) Während der Schwingung wird die Spannenergie bei der Hälfte (Ruhelage) zu kinetischer Energie umgewandelt. Beim Maximum der kinetischen Energie gibt es keine Spannenergie. Wenn das Pendel ganz unten ist, gibt es nur Spannenergie und keine kinetische Energie. Insgesamt herrscht immer eine gleiche Gesamtenergie. Der zeitliche Verlauf ist sinusförmig.
2) a) Bei den Nullstellen des Graphen. Am Mittelpunkt/Ruhelage.
b) Bei den Amplituden (oben oder unten).
c) Zwischen der Ruhelage und der Amplitude (oben oder unten).
d) Wie bei c), jedoch näher am Mittelpunkt/Ruhelage.
3) Die Amplituden werden mit der Zeit kleiner. Die thermische Energie nimmt zu, wodurch die anderen geringer werden, da die Gesamtenergie stets gleich bleibt. (Die thermische Energie nimmt nur durch die kinetische Energieumwandlung zu.)
4) und 5)
6)
Vergleich: Feder-Masse-Pendel und Schwingkreis
Welcher Zeitpunkt beim Schwingen des Feder-Masse-Pendels entspricht dem Moment, in dem der Schalter beim Schwingkreis umgestellt wird?
Wo ist die Energie jeweils beim Schwingkreis gespeichert? Welchen Zeitpunkten entspricht es jeweils dabei?
An einem Federpendel (genauer Feder-Masse-Pendel) betrachten wir die harmonische Schwingung. Für diese gibt es nämlich noch eine weitere Definition. Bislang gilt: Eine Schwingung ist harmonisch, wenn ihr zeitlicher Verlauf einer Sinuskurve entspricht.
