Thema: Dynamik

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Experiment: Ball im freien Fall

Die Bewegung von fallenden Objekten entspricht immer klaren mathematischen Zusammenhängen. Diese werden wir in einem Experiment mit einem fallenden Ball und Ultraschallsensoren entdecken. Arbeitet dafür zu dritt (oder notfalls zu viert) zusammen.

1. Teil: Vorbereitung

Ihr benötigt:
- Ultraschallsensor (CBR)
- Verbindungskabel
- zwei Taschenrechner (GTR)
- Ball

Den CBR mit dem GTR verbinden. Die App „EasyData“ sollte automatisch starten. Falls nicht, startet sie über die APPS-Taste. (Sollte die „EasyData“-App dort fehlen, müsst ihr einen anderen GTR nehmen.) Der CBR sollte jetzt Klick-Geräusche machen und eine Distanz anzeigen.

Wenn ihr die App gleich bedient, dienen die Taschenrechner-Tasten direkt unter dem Display (Y=, WINDOW, ZOOM, ...) zur Steuerung. Sie entsprechen jeweils dem Button, der darüber im Display angezeigt wird.

Der CBR soll genauer messen. Dazu verändern wir seine Messzeiten von 0,05 s auf 0,02 s pro Messung: Setup -> Time Graph -> Edit -> .02 (anstatt .05) eingeben -> Next -> Next (100 passt) -> OK
Schaltet zusätzlich beim CBR den Schieber auf Person/Ball.

2. Teil: Durchführung

Nehmt einen Ball und zwei GTR mit in die Agora. Zwei gehen mit GTR/CBR und Ball nach oben, eine(r) zum Aufheben des Balls nach unten.

Haltet den CBR so, dass er gerade nach unten misst und haltet den Ball etwa 15 cm darunter fest. Wählt Start um die Messung zu beginnen (evtl. danach nochmal OK zum Überschreiben alter Messdaten) und lasst den Ball fallen, sobald ihr die schnellen Klickgeräusche hört. Der Ball soll bis zum Boden fallen.

Führt das Experiment noch einmal mit einem zweiten GTR durch. Bedenkt dabei auch wieder die Einstellungen zu ändern.

3. Teil: Auswertung

Der CBR wird wieder abgenommen. CBR und Ball werden nach vorn gebracht. Ihr benötigt gleich Stift und Papier. Verwendet den GTR mit dem Graphen, den ihr schöner findet.

Von den Messdaten interessiert uns nur die Fallbewegung (siehe gestricheltes Kästchen im folgenden Bild). Anlyz -> Select Region -> OK -> Linke Grenze setzen -> Rechte Grenze setzen (rechts etwas mehr abschneiden!)

t-s-Diagramm
Macht von dem momentanen Diagramm (das ist das t-s-Diagramm) ein Handyfoto für später. Notiert dann die dazugehörige Funktion. Ihr erhaltet sie mittels: Anlyz -> Quadratic Fit -> y = ax² mit a = ... (b und c interessieren uns ja nicht, sondern sind nur eine Verschiebung des Graphen.)

t-v-Diagramm
Lasst euch die Geschwindigkeit v anzeigen (Plots -> Vel) und fotografiert das t-v-Diagramm. Notiert die dazugehörige Funktion. Ihr erhaltet sie mittels: Anlyz -> -> y = ax mit a = … (b interessiert uns nicht, sondern ist nur eine Verschiebung des Graphen.)

t-a-Diagramm
Lasst euch die Beschleunigung a anzeigen (Plots -> Accel). Der CBR ist nicht genau genug, um eine klare Beschleunigung anzuzeigen. Wir können aber einen Durchschnittswert berechnen: Anlyz -> Statistics -> Wählt nun mit der linken und rechten Grenze einen Bereich in der Mitte aus, in dem keine extremen Schwankungen vom Bildrand mitgerechnet werden. Notiert euch den Wert von „mean“. Das ist der Durchschnittswert der Beschleunigung a.

4. Teil: Fragen

1.) Warum fällt der Ball nach unten?

2.) Kennt ihr eine ähnliche Zahl wie die aus dem t-a-Diagramm in diesem Zusammenhang? Sie kam in Klasse 8 und 10 vor.

3.) Beschreibt damit euer Ergebnis aus dem t-v-Diagramm.


Freier Fall

Ein frei fallendes Objekt wird durch die Erdanziehung beschleunigt. Der Ortsfaktor g (9,81 m/s2 bzw. gerundet 10 m/s2) ist der Faktor, um den es beschleunigt wird. Die Geschwindigkeit nimmt dabei gleichmäßig (linear) zu. Die Strecke steigt quadratisch.


Aufgaben: Freier Fall

Hinweise vorab:
- Rechne der Einfachheit halber mit g = 10 m/s2.
- Es sollte in den Standardeinheiten (Meter, Sekunde, Meter pro Sekunde, ...) gerechnet werden.
- km/h in m/s erhält man mit "geteilt durch 3,6". Umgekehrt "mal 3,6".

Aufgabe 1: Fallschirmspringer

Aus welcher Höhe s müssen Fallschirmspringer zu Übungszwecken ohne Fallschirm herabspringen, um mit derselben Geschwindigkeit v = 7 m/s anzukommen wie beim Absprung mit Fallschirm aus großer Höhe?

(Tipp: Mit der Geschwindigkeits-Formel die Fallzeit bestimmen und in die Weg-Formel einsetzen.)

Aufgabe 2: Autocrash

Berechne, aus welcher Höhe h man ein Auto auf die Straße stürzen lassen müsste, damit die gleichen Verformungen auftreten wie bei einem Zusammenprall des Autos mit einer Betonwand bei einer Geschwindigkeit von v = 90 km/h.

Aufgabe 3: Turm und Stein

Von der Spitze eines Turmes lässt man einen Stein fallen. Nach t = 4 Sekunden sieht man ihn auf dem Boden aufschlagen.

a) Wie hoch ist der Turm?

b) Mit welcher Geschwindigkeit v trifft der Stein auf den Boden auf?

c) Nach welcher Zeit t hat der Stein die Hälfte seines Fallweges zurückgelegt?

d) Welche Zeit t braucht der Stein zum Durchfallen der letzten 20 m?

Aufgabe 4: Irrt sich Flexon?

Flexon stellt folgende Behauptung auf: "Fallen zwei verschieden schwere Körper auf der Erde ohne Reibung, so erfährt der schwerere Körper die größere Beschleunigung, da auf ihn die größere Gewichtskraft wirkt".

Begründe, ob Flexon recht hat oder im Unrecht ist.

Aufgabe 5: Neue Formel

Wird ein Körper aus der Höhe h fallen gelassen, so kann man seine Fallzeit tFall (das ist die Dauer vom Loslassen des Körpers bis zu dessen Auftreffen auf dem Boden) mit folgender Formel berechnen:

tFall = \(\sqrt{\frac{\text{2} \cdot \textit{h}}{\textit{g}}}\)

Leite diese Formel aus der Weg-Formel her.

Aufgabe 6: Tiefe eines Brunnes

Um die Tiefe eines Brunnens zu bestimmen, gibt es folgende Möglichkeit: Man lässt einen Stein in den Brunnen fallen und misst die Zeit, die vergeht, bis man das Aufschlagen des Steines hört. (Rechne hier mit g = 9,81 m/s2)

a) Erläutere, wie man aus der gemessenen Fallzeit t einen Wert für die Tiefe des Brunnens ermitteln kann.

b) Berechne die Tiefe des Brunnens, wenn man t = 1,5 s misst.

c) Aus einer alten Zeichnung kann man ablesen, dass die Tiefe des Brunnens tatsächlich genau 10,6 Meter beträgt. Berechne damit die Fallzeit, die eigentlich zu erwarten gewesen wäre.

d) Kritiker dieser einfachen Methode weisen darauf hin, dass auch die Laufzeit des Schalls berücksichtigt werden muss, wenn man einen genauen Wert für die Tiefe erhalten möchte. Erläutere diese Aussage anhand der Fallzeiten aus den Teilaufgaben a) und b).


Stationen: Waagerechter Wurf

Hinweise vorab:
- Jede Gruppe braucht 1x Papier und Stift für Notizen.
- Arbeitet zu dritt oder viert.
- Seid vorsichtig, damit ihr euch und andere nicht verletzt.
- Lest jeweils genau die Beschreibung, führt sie dann durch und bearbeitet die Aufgabe.

Station 1: Der Scheibenschuss

Baut es genau wie auf der Skizze zu sehen auf.

Teilt euch die Arbeit: Jemand hält das Lineal in der Mitte mit einem Finger fest, jemand anderes stößt es an, jemand beobachtet von der Seite (so dass man Scheibe B zur Seite fliegen sieht).

Jeder sollte einmal beobachten.

Aufgabe: Beschreibt eure Beobachtung. Wie fliegen die beiden Pucks? Kommen sie gleichzeitig oder zeitversetzt unten an?

Station 2: Kugeln an die Wand rollen/werfen

Schiebt beide Bälle gleichzeitig mit dem Brett an, wie in der Abbildung gezeigt. Achtet darauf, ob sie gleichzeitig die Wand treffen und wie ihre Bewegung verläuft.

Aufgabe: Stellt die Bewegungen beider Bälle im zeitlichen Verlauf in einer Abfolge von Skizzen dar (ähnlich einem kleinen Comic). Dabei soll auch zu sehen sein, ob sie gleichzeitig die Wand treffen.

Station 3: Trägheit


Setzt die beiden Wagen aufeinander (den dunkleren oben) und schiebt dann beide an, so dass sie zusammen gegen die zweite Bahn fahren.

Achtet darauf, was der obere dann macht.

Aufgabe: Notiert eure Beobachtungen. Versucht auch zu erklären, was man unter „Trägheit“ versteht.

Station 4: Wasser"wurf"

Dreht vorsichtig den Wasserhahn etwas auf und beobachtet das Wasser, das waagerecht aus dem Schlauch fließt. Variiert die Wasserstärke.

Aufgabe: Skizziert die „Flugbahn“ des Wassers für verschiedene Wasserstärken in Seitenansicht. Notiert dann, was dieses Experiment mit einem waagerechten Wurf zu tun hat.

Station 5: Kugelwurfgerät

Achtung: Seid bei diesem Experiment besonders vorsichtig! Eine der Kugeln wird geschossen. Es darf dabei niemand getroffen werden und nichts kaputtgehen.

Durch Lösen des Rädchens wird gleichzeitig eine Kugel geschossen und eine fallengelassen. Beobachtet beide Kugeln auf ihrem Weg nach unten. Führt dies mehrmals durch und variiert dabei die Spannung der Feder.

Aufgabe: Stellt die Bewegungen beider Bälle im zeitlichen Verlauf in einer Abfolge von Skizzen dar (ähnlich einem kleinen Comic). Dabei soll auch zu sehen sein, ob sie gleichzeitig den Boden treffen.

Station 6: Wurfbewegung zerlegen

Man kann eine komplizierte Wurfbewegung in 2 einzelne Bewegungen zerlegen: Eine waagerechte und eine senkrechte. Tut dies für die folgende Aufnahme, bei der mehrere Bilder derselben Wurfbewegung übereinander gelegt sind.

A: Konstante Geschwindigkeit; keine Beschleunigung.
B: Geschwindigkeit erhöht sich durch eine Beschleunigung.
C: Geschwindigkeit verringert sich durch eine Entschleunigung.

Aufgabe: Wählt aus den waagerechten und den senkrechten Bewegungen die passende aus (achtet auf die Abstände der Kugel in der jeweiligen Richtung). Entscheidet dann für beide, ob es sich jeweils um A, B oder C handelt und formuliert daraus einen zusammenfassenden Satz.


Übungen

Formeln

Freier Fall:

s = \(\frac{\text{1}}{\text{2}}\)gt2

v = gt

g = 9,81 m/s2



Waagerechter Wurf:

sx = vt

sy = \(\frac{\text{1}}{\text{2}}\)gt2

sy = \(\frac{\text{1}}{\text{2}}\)g∙\(\frac{\text{s}_x^2}{\text{v}^2}\)

Tennisaufgabe

Beim Aufschlag schlägt eine Tennisspielerin den Ball von der Grundlinie mit einer Geschwindigkeit von 30 m/s aus einer Höhe von 2,2 m horizontal los. Interessant ist, wie viel Zeit ihre Gegnerin zum Erreichen des Balls hat, ob der Ball ins Aus geht oder ob der Ball im Netz hängen bleibt.

Von der Grundlinie zum Netz seien es 12 m.

(Rechne hier genauer mit g = 9,81 m/s².)

Fertige zunächst eine Skizze an, in der die Fluglinie des Balls eingezeichnet ist, den er nach dem Aufschlag fliegt.

a) Zeige, dass der Ball nach t = 0,67 s auf dem Boden auftrifft. (Wenn dir der Nachweis nicht gelingt, darfst du diesen Wert trotzdem im Folgenden verwenden.)

b) Berechne die Entfernung s des Punktes vom Netz, an dem der Ball auf dem Boden auftrifft.

c) Berechne die Höhe hNetz des Balls über der Position des Netzes.

d) Bestimme die genaue Gleichung „sy(sx) = …“ der Bahnkurve des Balls. Setze dafür g und v ein und verrechne alles zu einer einzigen Zahl.

e) Erläutere das Unabhängigkeitsprinzip am Beispiel dieser Aufgabe.

Aufgabe 1

Ein Ball wird in einer Höhe von 10 m mit einer Geschwindigkeit von v = 15 m/s waagerecht abgeworfen.

a) Berechne die Strecke sx, die der Ball in horizontaler Richtung zurücklegt.

b) Berechne die erforderliche Abwurfgeschwindigkeit v, wenn der Ball in horizontaler Richtung 40 m zurücklegen soll.

Lösung

a) Stelle die dritte Formel des waagerechten Wurfs nach sx um und setze ein:
sx = \(\sqrt{\frac{\text{2}\cdot\text{s}_\text{y}\cdot\text{v}^\text{2}}{\text{g}}}\) = \(\sqrt\frac{\text{2}\cdot\text{10}\cdot\text{15}^\text{2}}{\text{9,81}}\) = 21,42 m

b) Stelle diese Formel wiederum nach v um und setze ein:
\(\sqrt{\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{g}\cdot\frac{\text{s}_x^2}{\text{s}_y}}\) = \(\sqrt{\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{9,81}\cdot\frac{\text{40}^2}{\text{10}}}\) = 28,01 m/s

Aufgabe 2

Ein Sprungbecken mit 10-m-Turm hat die Abmessungen 18 mal 18 Meter. Die 5 m lange und 10 m hohe Plattform ragt 3 m in das Becken hinein. Mit welcher Geschwindigkeit müsste ein Turmspringer von der Plattform abspringen, wenn er den gegenüberliegenden Beckenrand erreichen soll? Beurteile, ob das Sprungbecken sicher ist.

Lösung

Es ist v so zu bestimmen, dass für einen waagerechten Wurf von einer Höhe sy = 10 m eine Weite von sx = 15 m (18 m - 3 m) erreicht wird. Für die anschließende Beurteilung kann die Geschwindigkeit in km/h umgerechnet werden (mal 3,6) und dann überlegt werden, ob diese ein sinnvoller Wert für einen Menschen ist.