Thema: Quantenobjekte

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Formeln

de-Broglie-Wellenlänge: \(\lambda\) = \(\frac{h}{m \cdot v}\) = \(\frac{h}{p}\)

Quanten-Energie: E = hf

Wellenlänge und Frequenz: \(\lambda\) = \(\frac{c}{f}\)

Gitter-Interferenz: k∙\(\lambda\) = g∙sin(tan-1\((\frac{d}{a}\)))

Elektronengeschwindigkeit: v = \(\sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot U}{m_e}}\)

Elektrische Energie: E = eU

Kinetische Energie: E = \(\frac{\textnormal{1}}{\textnormal{2}}\)mv2

Formelzeichen

\(\lambda\): Wellenlänge in m
f: Frequenz in Hz
E: Energie in J
m: Masse in kg
v: Geschwindigkeit in \(\frac{\textnormal{m}}{\textnormal{s}}\)
p: Impuls in kg\(\frac{\textnormal{m}}{\textnormal{s}}\)
U: Spannung in V

Bei Interferenz:
k = Ordnungszahl
g = Spaltbreite/Gitterkonstante in m
d = Abstand zum Maximum 0. Ordnung
a = Abstand zum Schirm



Konstanten:
h = 6,626 ∙ 10-34 Js
me = 9,1 ∙ 10-31 kg
e = 1,6 ∙ 10-19 C
c = 299.792.458 \(\frac{\textnormal{m}}{\textnormal{s}}\)
c ≈ 300.000 \(\frac{\textnormal{km}}{\textnormal{s}}\)


Nachweis von Quanten

Nachweis am Doppelspalt mit wenig Licht

Ein sehr einfaches Experiment zum Nachweis von Quanten ist das Doppelspalt-Experiment. Die Besonderheit: Man verwendet Filter, um das Licht nahezu vollständig abzuschwächen.

Mit einem guten Licht-Detektor (einer guten Digitalkamera), empfängt man dann plötzlich kein kontinuierliches Interferenzmuster mehr, sondern einzelne Messpunkte. Über lange Dauer ergibt sich dadurch wieder das vollständige Muster. Die einzelnen Messpunkte lassen sich aber nur darüber erklären, dass Licht nicht bloß als Welle aufgefasst werden kann, sondern gleichzeitig Teilchen-Eigenschaften hat. Eine Welle würde schließlich überall am Detektor registriert werden.



Nachweis der Wellen-Eigenschaft bei Elektronen

1959 hat Claus Jönsson es technisch umsetzen können, einen Doppelspalt so klein zu machen, dass er für Elektronen geeignet ist. Nachfolgend sind am Schirm hinterm Doppelspalt registrierte Elektronen dargestellt. (b: 200 El., c: 6 000 El., d: 40 000 El., e: 140 000 El.)

Die registrierten Elektronen zeigen zunächst zufällig erscheinende Positionen auf. Es lässt sich nicht voraussagen, wo ein Elektron registriert werden würde. Erst immer mehr Elektronen weisen eine Verteilung auf, wie sie von interferierenden Wellen zu erwarten sein würde. Elektronen zeigen also gleichzeitig Teilchen-Eigenschaften und Wellen-Eigenschaften. Zudem ist es zwar zufällig, wo sie registriert werden, aber es lässt sich aussagen, dass es Bereiche mit einer besonders hohen Wahrscheinlichkeit gibt (die Intensitätsmaxima) und Bereiche mit einer besonders geringern Wahrscheinlichkeit (die Intensitätsminima).

Aufgabe 1: Interferenzmuster zuordnen

Quantenobjekte werden auf einen Doppelspalt gestrahlt. Hinter dem Doppelspalt befindet sich in etwas Abstand ein Schirm, der die Quantenobjekte registrieren kann. Nachfolgend sind drei Interferenzmuster dargestellt, die bei unterschiedlichen Intensitäten und Belichtungsdauern entstehen. Ordne begründet zu.

A) Interferenzmuster bei reduzierter Intensität und langer Belichtung.

B) Interferenzmuster bei hoher Intensität und beliebiger Belichtung.

C) Interferenzmuster bei reduzierter Intensität und kurzer Belichtung.

Aufgabe 2: Abitur BW 2001

In einer evakuierten Röhre werden Elektronen mit Hilfe einer Spannung beschleunigt. Sie treffen auf einen Doppelspalt mit einem sehr kleinen Spaltabstand (z.B. 1,50 μm). In größerem Abstand (z.B. 20,0 cm) hinter dem Doppelspalt befindet sich eine ebene Platte, auf der sich Elektronen nachweisen lassen.

a) Beschreibe, welche Beobachtung zu erwarten wäre, wenn Elektronen als klassische Teilchen betrachtet würden.

b) Skizziere das nach diesem Modell zu erwartende Versuchsergebnis.

c) Erläutere anhand einer Skizze, welches Ergebnis man tatsächlich bei diesem Experiment erhält.

Aufgabe 3: Nachweis am Doppelspalt

a) Skizziere den Aufbau des Doppelspaltversuchs für Licht-Quanten.

b) Beschreibe kurz die Beobachtung beim Doppelspalt-Versuch mit sehr wenig Licht. Erläutere dann das Problem, welches Physiker damals mit der Beobachtung hatten und weshalb der Versuch ein Beweis für Quanten ist.

c) Ergänze die Bedeutung des Doppelspalt-Versuchs mit Elektronen beim Doppelspalt für den Beweis von Quanten.


Was sind Quanten?

Wir können uns nicht vorstellen, was ein Quant ist. Unser Verstand kann sie nicht als Ganzes begreifen, da er auf der Wahrnehmung und Interaktion in unseren Größendimensionen basiert. Die Geschehnisse von Quanten finden jedoch in viel kleineren Dimensionen statt. Wir können aber aufgrund von Messungen Aussagen über sie machen:

Ein Quant ist gleichzeitig ...

"etwas körniges"
(als feste Energieportion zusammengefasstes Teilchen, teilweise mit Masse, teilweise magnetisch und elektrisch, einzeln vorkommend, ...)

"etwas welliges"
(interferiert, ergibt Interferenzmuster, hat eine Wellenlänge und eine Frequenz, ...)

"etwas stochastisches"
(passendste Beschreibung mittels mathematischer Wahrscheinlichkeiten)

Wort-Herkunft: engl. "quantity" = "Anzahl, Menge"
Quantisiert = Energie in bestimmten Mengen zusammengefasst.


Elektronenbeugungsröhre

Aufbau

Elektronen werden im E-Feld einer Elektronenkanone auf einen Graphit-Kristall geschossen. Dieser ist wie unregelmäßig gedrehte Gitter mit zwei verschiedenen Gitterkonstanten aufgebaut. Daher entstehen pro Intensitätsmaximum zwei helle Ringe.



Wellenlängenbestimmung mittels Gitter-Formel

Anhand der Abstände der Ringe zum Hauptmaximum kann mit der Gitter-Formel die Wellenlänge der Elektronen bestimmt werden.

Aufgaben

1.) Beschreibe (auch mithilfe einer Skizze) das Zustandekommen von Ringen bei der Elektronenbeugungsröhre. Gehe dabei auch auf den Graphitkristall als Gitter ein.

2.) Gib mehrere Möglichkeiten an, wie man einen Ring mit einem Radius von 3 cm erzeugen kann.

3.) Berechne anhand ausgewählter Messwerte für beide Gitterkonstanten die Radien der Ringe 2. Ordnung. Begründe, dass man die Ringe 1. Ordnung und 2. Ordnung für beide Gitterkonstanten durch eine Messung mit einem Lineal unterscheiden könnte.


de-Broglie-Wellenlänge

Die Wellenlänge eines Quantenobjekts mit Ruhemasse hängt von seiner Masse und seiner Geschwindigkeit ab.
(Zusammen: m∙v = p „Impuls“)

\( \lambda = \frac{h}{m \cdot v} \)     bzw.     \( \lambda = \frac{h}{p} \)

Planck'sche Konstante: h = 6,626 ∙ 10-34 Js



Herleitung an Messwerten

Der Zusammenhang zwischen der Wellenlänge der Elektronen in der Elektronenbeugungsröhre und ihrer Geschwindigkeit (bestimmt durch die Beschleunigungsspannung UB der Elektronenkanone) wird untersucht.

Die Produktgleichheit \( \lambda \cdot v \) ergibt jeweils ca. das Gleiche und ist damit der Proportionalitätsfaktor. Es zeigt also einen antiproportionalen Zusammenhang. Multipliziert man den Proportionalitätsfaktor mit der Masse der Quantenobjekte, so ergibt sich für alle Quanten die Planck'sche Konstante: h = 6,626 ∙ 10-34 Js


de-Broglie-Wellenlänge

Die Wellenlänge eines Quantenobjekts mit Ruhemasse hängt von seiner Masse und seiner Geschwindigkeit ab.
(Zusammen: m∙v = p „Impuls“)

\( \lambda = \frac{h}{m \cdot v} \)     bzw.     \( \lambda = \frac{h}{p} \)

Planck'sche Konstante: \( h \) = 6,626∙10-34 Js



Herleitung an Messwerten

Der Zusammenhang zwischen der Wellenlänge der Elektronen in der Elektronenbeugungsröhre und ihrer Geschwindigkeit (bestimmt durch die Beschleunigungsspannung UB der Elektronenkanone) wird untersucht.

Die Produktgleichheit \( \lambda \cdot v \) ergibt jeweils ca. das Gleiche und ist damit der Proportionalitätsfaktor. Es zeigt also einen antiproportionalen Zusammenhang. Multipliziert man den Proportionalitätsfaktor mit der Masse der Quantenobjekte, so ergibt sich für alle Quanten die planck'sche Konstante: \( h \) = 6,626∙10-34 Js


h-Bestimmung mit LEDs (eA)

Material

LEDs (IR, Rot, Grün, Blau, UV), Störlichttubus, 2 Multimeter, Netzteil, Kabel

Aufbau


- Auf die jeweils zu untersuchende LED den Störlichtubus stecken.
- Die rote Buchse des Netzteils ist "+".
- Das Amperemeter auf "mA ⎓" stellen und in Reihe über "COM" und "mA" anschließen.
- Das Voltmeter auf "V ⎓" stellen und parallel über "COM" und "V" anschließen.
- Beim Netzteil "CURRENT" ganz aufdrehen und "VOLTAGE" zunächst auf Null stellen. Danach immer nur langsam steigern, da die LEDs bei höheren Spannungen (ca. ab 5 Volt) beschädigt werden können.

Durchführung

Durchführung für IR und UV: (NICHT DIREKT IN DIE UV-LED BLICKEN!) Jeweils das Amperemeter betrachten und langsam bis zur Eintrittsspannung erhöhen, bei der ein Strom zu fließen beginnt.

Durchführung für Rot, Grün und Blau: Jeweils in den Störlichttubus auf die LED blicken und langsam bis zur Eintrittsspannung erhöhen, bei der sie zu leuchten anfängt.

Beobachtung

Halte die Messwerte (LED-Farbe, Wellenlänge und Eintrittsspannung) in tabellarischer Form fest.
Wellenlängen: IR: 921nm, Rot: 632nm, Grün: 514nm, Blau: 463nm, UV: 399nm

Auswertung

Ermittle den genauen Zusammenhang zwischen der Frequenz f des Lichts und der Energie E. Zeichne dazu ein f-E-Diagramm, bestimme die Proportionalität und gewinne daraus eine Gleichung.

Zur Erinnerung:
f = \(\frac{c}{\lambda}\)
E = e∙U

Gebe dem Gesetz abschließend eine möglichst anschauliche Bedeutung.

Abschlussaufgabe

Erläutere in eigenen Worten die experimentelle Bestimmung von h, die hier durchgeführt wurde. Verwende dabei die LEDs als Energiewandler von elektrischer Energie zur Photonenenergie und h als Proportionalitätsfaktor.

Alternative Ermittlung von U

LEDs senden (anders als Laser) Licht über ein breiteres Wellenlängen-Spektrum. Das macht die Ermittlung der Eintrittsspannung ungenau, da sie schon etwas zu leuchten/leiten beginnt, obwohl sie noch nicht in der vorwiegenden Wellenlänge strahlt. Mit der folgenden Methode soll die Eintrittsspannung (beispielhaft an der grünen LED) genauer ermittelt werden.


Durchführung für Grün: Die LED nach obigem Schaltplan anschließen und beim langsamen und schrittweisen Erhöhen der Spannung die Stromstärke notieren. Nach Erreichen der Eintrittsspannung weiter schrittweise die Spannung (bis max. 5 V) erhöhen und jeweils Messpaare von Spannung und Stromstärke notieren.


Auswertung:
- Die Messwerte in einem U-I-Diagramm darstellen.
- Bei höheren Strömen sollte ein linearer Verlauf erkennbar sein. Durch Einzeichnen einer Geraden durch die höheren Messwerte ergibt sich eine Nullstelle auf der U-Achse. Diese entspricht der Eintrittsspannung der vorwiegenden Wellenlänge.
- Bestimme mit der so ermittelten Eintrittsspannung die Energie der grünen Photonen und mit ihrer Frequenz schließlich den Wert von h.


Energie eines Quants

Licht wird in Portionen mit folgender Energiemenge ausgesendet:

E = hf

Die Energie dieser sogenannten "Photonen" ist also porportional zu ihrer Frequenz. Der Proportionalitätsfaktor entspricht der plank'schen Konstanten h = 6,626 ∙ 10-34 Js.

Es gilt weiterhin die Umrechnung \(\lambda\) = \(\frac{c}{f}\) mit \(c\) = 299.792.458 \(\frac{\textnormal{m}}{\textnormal{s}} \)


Komplementarität und Nichtlokalität

Gedankenexperiment

Es gebe Geräte, die jeweils rote von blauen bzw. weiche von festen Elektronen trennen.

Anhand einer Reihe von Experimenten mit diesen Geräten, können zwei entscheidende Gesetzmäßigkeiten über die Eigenschaften gewonnen werden. (Sie beruhen auf Messergebnissen und sollten nicht mit dem menschlichen Verstand erklärt werden! Dieser beruht nämlich auf Erfahrungen mit seiner Umwelt und in ihr verhalten sich Objekte anders als Quanten.)



Komplementarität

Es können nicht gleichzeitig Farbe und Härte bestimmt werden. Eigenschaften von Quanten können sich gegenseitig als Messgröße ausschließen. (Art der „Heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation“)



Nichtlokalität

Der Weg eines Elektrons kann nicht bestimmt werden. (Art der „Superposition“). Der gesamte Aufbau eines Experiments ist für den Ausgang entscheidend.


Mach-Zehnder-Interferometer

(Eine Skizze und eine Beschreibung des Aufbaus sowie eine Erläuterung der Ergebnisse wurde selbstständig im Unterricht erarbeitet.)

Simulation: Link (Kippenbergs.de)

Quiz: Link (LEIFIphysik)

Dokumentation: Link (YouTube)



Abi-Aufgabe: 2014 - A II - Aufgabe 3.3 (nicht öffentlich)


Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation

Unbestimmtheit am Einzelspalt

Betrachtet man das Interferenzmuster bei Beleuchtung eines Einzelspalts, so kann man für verschiedene Spaltbreiten unterschiedlich breite Muster erkennen:

Die Unbestimmtheitsrelation lautet hier: Je genauer der Ort Δx bestimmt werden kann, den die Quanten passieren, desto unbestimmter ist ihr Impuls Δp, also die Richtung, in der sie sich bewegen. Das Muster wird dadurch breiter.



Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation

Der Ort x und der Impuls p = mv eines Quants können nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden (sie sind komplementär). Der Wert der Unbestimmtheit einer Größe ist davon abhängig, wie genau die andere Größe bestimmt wird. Dabei gilt folgende Ungleichung, mit der die mindeste Unbestimmtheit berechnet werden kann:

Δp∙Δx ≥ h:(4π)



(Aufgaben und kleines Experiment müssen noch eingefügt werden.)

Fotoeffekt

Innerer Fotoeffekt

LEDs senden Photonen (in Form von Lichtquanten) aus, wenn genügend elektrische Energie eingebracht wurde, um die Sperrschicht zu überwinden. Die Photonen besitzen dann stets eine bestimmte Energiemenge (sie sind "Energiehäppchen").

Dieser Effekt kann umgekehrt werden. Sendet man Photonen mit dieser bestimmten Energiemenge in eine LED, so können sie Elektronen darin anregen und ihre Energie übertragen. Sie werden dabei absorbiert.



Äußerer Fotoeffekt

Sendet man Photonen auf eine Zinkplatte (als Beispiel), so können sie daraus Elektronen herauslösen. Dafür benötigen sie eine Mindestenergie, die sogenannte Austrittsarbeit W0. Im Experiment wird sie ersichtlich, da weißes, energiearmes Licht nicht ausreicht, um Elektronen aus dem Zink zu lösen. Es hilft dabei auch keine größere Intensität des Lichts. Energiereicheres UV-Licht hingegen kann Elektronen aus dem Zink herauslösen (das ist der Fotoeffekt). Das ist daran zu erkennen, da sich ein negativ geladenes Elektroskop entlädt. Glas kann UV-Licht abschirmen.


Auszug aus Einsteins Originalarbeit

Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt

Einstein übertrug die von Max Planck bei der Emission von Licht entdeckte Quantelung der Strahlungsenergie auf die Ausbreitung des Lichts im Raum und seine Wechselwirkung mit Materie. Diese Hypothese ging entscheidend über die plancksche Annahme hinaus. Auszüge aus seiner Originalarbeit:

»Die übliche Auffassung, daß die Energie des Lichtes kontinuierlich über den durchstrahlten Raum verteilt sei, findet bei dem Versuch, die lichtelektrischen Erscheinungen zu erklären, besonders große Schwierigkeiten. ... Es scheint mir nun in der Tat, daß die Beobachtungen ... besser verständlich erscheinen unter der Annahme, daß die Energie des Lichtes diskontinuierlich im Raume verteilt sei. Nach der hier ins Auge zu fassenden Annahme ist bei Ausbreitung eines von einem Punkte ausgehenden Lichtstrahles die Energie nicht kontinuierlich auf größer und größer werdende Räume verteilt, sondern es besteht dieselbe aus einer endlichen Zahl von in Raumpunkten lokalisierten Energiequanten, welche sich bewegen, ohne sich zu teilen und nur als Ganze absorbiert und erzeugt werden können. ... Monochromatische Strahlung ... verhält sich ... so, wie wenn sie aus voneinander unabhängigen Energiequanten von der Größe h·f bestünde.

Zur Deutung des Photoeffekts schreibt Einstein: In die oberflächliche Schicht des Körpers dringen Energiequanten ein, und deren Energie verwandelt sich wenigstens zum Teil in kinetische Energie der Elektronen. Die einfachste Vorstellung ist die, daß ein Lichtquant seine ganze Energie an ein einziges Elektron abgibt. ..Ein im Innern des Körpers mit kinetischer Energie versehenes Elektron wird, wenn es die Oberfläche erreicht hat, einen Teil seiner kinetischen Energie eingebüßt haben. Außerdem wird anzunehmen sein, daß jedes Elektron beim Verlassen des Körpers eine (für den Körper charakteristische) Arbeit W0 zu leisten hat, wenn es den Körper verläßt.

Mit der größten Normalgeschwindigkeit werden die unmittelbar an der Oberfläche normal zu dieser erregten Elektronen den Körper verlassen. Die kinetische Energie solcher Elektronen ist Ekin = h·f - W0


Fotozelle

Simulation: Link (Kippenbergs.de)


Schrittweise Aufgaben

1.) Simulation aufrufen. Einstellungen: „Intensität: hoch“ und „Simulationsgeschwindigkeit: 10x“.
(Im Folgenden sind die Teile der Aufgaben unterstrichen, bei denen etwas notiert werden soll.)

2.) Material verändern (Cs: Cäsium, K. Kalium, Na: Natrium, Zn: Zink) und die Auswirkungen davon beschreiben: Was lässt sich dabei in der Simulation beobachten? Welcher Wert ändert sich dabei? Notiert diesen jeweils.

3.) Für Zink verschiedene Wellenlängen l einstellen und die Beobachtung erklären.

4.) Einstellung: „Versuchsaufbau: Gegenspannung“. Für Zink die Größe der Gegenspannung Ug notieren, bei der gerade eine Stromstärke gemessen werden kann. Die Bedeutung dieser Spannung energetisch beschreiben.

5.) Für Cäsium/Kalium/Natrium (verteilt im Kurs) die Gegenspannung Ug für alle Wellenlängen λ in einer Tabelle notieren, bei der gerade ein Strom an der Anode gemessen werden kann. Dann in Frequenzen f und Energien E = eU umrechnen.

6.) (Danach zusammen: f-E-Diagramm für alle Elemente zeichnen und deuten.)



(Noch Aufgabe zu f-E-Diagrammen einfügen.)

Abi-Aufgabe: (kleine aus Bayern und) 2018 - A II - Aufgabe 2


Röntgenbremsstrahlung

Bei LEDs sahen wir zunächst, wie aus der Energie von Elektronen Photonen entstehen können. Dann sahen wir ebenfalls bei LEDs den inneren Fotoeffekt sowie bei Metallplatten den äußeren Fotoeffekt, bei denen Photonen ihre Energie auf Elektronen übertragen haben. Die Bremsstrahlung entsteht nun wiederum, wenn Elektronen kinetische Energie abgeben und dabei Photonen emitteren (sozusagen umgekehrter Fotoeffekt).



In einer Röntgenröhre werden Elektronen beschleunigt. Wenn sie die Anode treffen, verlangsamen sie sich abrupt, wodurch ihre kinetische Energie in Röntgenstrahlung (Photonen) umgewandelt wird. Ihre Energie besitzt ein kontinuierliches Spektrum mit einer maximalen Energie, die der kinetischen Energie beim Eintritt in die Anode entspricht. Eine höhere Beschleunigungsspannung führt zu energiereicheren Röntgenstrahlen.



Bildfolge zu Röntgenbremsstrahlung

Aufgabe: Erstelle mithilfe der beiden Links eine eigene Bildfolge (einen Comic), welche die Vorgänge in einer Röntgenröhre und die Entstehung von Röntgenbremsstrahlung beschreibt. (Link 1 bis zur historischen Entwicklung und Link 2 bis zum Spektrum.)

Link 1: Link (LEIFIphysik)

Link 2: Link (LEIFIphysik)



Diagramme einfügen, mit Formel und Bedeutung der Grenzwellenlänge.

Abi-Aufgabe: (kleine aus Bayern 2005)


Scale of the universe

In dieser Simulation kann man sich die Skalierungen unseres Universums veranschaulichen. Zoome an Mäusen, Bakterien und Atomen vorbei hinein bis zur Planck-Länge oder hinaus bis zum Rand des Universums.

Link: Scale of the universe
(Das Starten kann ein wenig dauern.)