Thema: Elektrische Felder

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dezi centi milli mikro nano piko femto
E-1 E-2 E-3 E-6 E-9 E-12 E-15
∙10-1 ∙10-2 ∙10-3 ∙10-6 ∙10-9 ∙10-12 ∙10-15



Zehnerpotenzen: Groß

Kilo Mega Giga Tera
E3 E6 E9 E12
∙103 ∙106 ∙109 ∙1012



Regression

Daten in Listen eingeben:
[STAT] -> „1: Edit…“ -> eingeben

(Optional) Im Graph anzeigen:
[2ND], [Y=], [ENTER] -> „On“
(evtl. andere Graphen in [Y=] ausmachen)
[ZOOM] -> „9: ZoomStat“
(evtl. [WINDOW] einstellen)

Linear? Regressionsgerade bestimmen:
[STAT], [>], „CALC“ -> „0: ExpReg“
-> L1, L2 (oder andere) eingeben
-> Store: Y1 ([ALPHA], [TRACE]) -> „Calculate“
y = ax + b mit a = … und b = …

Exponentiell? Regressionskurve bestimmen:
[STAT], [>], „CALC“ -> „4: LinReg(ax+b)“ -> „Calculate“
y = ax + b mit a = … und b = …

(Optional) Regressionsgerade zeichnen:
Beim Bestimmen der Gerade: „Store RegEQ“ -> „Y1“ einfügen mittels [ALPHA], [TRACE]

(Optional) Fläche bestimmen:
[2ND], [CALC] -> "Sf(x)dx" -> linken und rechten Wert eingeben


Wiederholungen

Größen im Stromkreis

Spannung U in Volt: Wie viel Energie die Elektronen transportieren.

Stromstärke I in Ampere: Wie viele Elektronen pro Sekunde fließen.

Widerstand R in Ohm : Wie einfach oder schwierig die Elektronen fließen können. Je kleiner R, desto größer ist I.

\( U = R \cdot I \)

Leistung P in Watt

\( P = U \cdot I \)



Elektrische Schaltungen

Folgt noch.



Elektrische Ladungen

Es gibt zwei verschiedene elektrische Ladungen: positiv und negativ.
Gleiche Ladungen stoßen sich ab, unterschiedliche ziehen sich an.
(Z.B. zu sehen an elektrostatisch aufgeladenen Luftballons, die sich gegenseitig anziehen bzw. abstoßen.)

Abstoßungs-/Anziehungskraft größer, wenn
- Ladungsunterschied größer
- Abstand kleiner



Fragen

1. Welche elektrischen Ladungen gibt es und wie kann man sie „sichtbar“ machen?

2. Was hat das Wasserkreislaufmodell mit elektrischem Strom zu tun?

3. Wie funktioniert ein Elektroskop?

4. Was hat die „Spannung“ mit einem Energieflussdiagramm zu tun?

5. Was unterscheidet die Spannung an der Stromquelle von der Spannung im Stromkreislauf?

6. Wie nennt sich die physikalische Größe, die die Abstoßung / Anziehung verursacht?

Antworten

1. Positiv und negativ (und neutral). Man kann sie sichtbar machen anhand der Abstoßung und Anziehung von geladenen Gegenständen (z.B. Ballons).

2. Es simuliert den Elektronenfluss. Die Bewegung des Wassers entspricht dem Elektronenfluss. Die Pumpe der Stromquelle. Eine Turbine einem Verbraucher. Schläuche entsprechen Kabeln.

3. Man nimmt einen Stab der negativ geladen ist, hält ihn davor, damit sich die Elektronen abstoßen (bei Berührung werden sie übertragen). Die Nadel stößt sich vom Stab ab, weil beides negativ geladen ist. Derselbe Vorgang passiert bei positiver Ladung.

4. Sie liefert die elektrische Energie, die an Verbrauchern umgewandelt werden kann.

5. Die Spannung an der Quelle ist die gesamte „Energie“, die im Stromkreis an den einzelnen Verbrauchern umgewandelt wird. Die Quelle gibt die insgesamt zur Verfügung stehende Energie vor. Die Verbraucher wandeln jeweils einen Teil davon um.

6. Kraft


Coulomb-Kraft FC

Betrag der Kraft FC zwischen zwei elektrischen Ladungen Q1 und Q2 im Abstand r:

FC = \( \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \) ∙ \( \frac{\textcolor{var(--blau)}{Q_1} \cdot \textcolor{var(--rot)}{Q_2}}{\textcolor{var(--gelb)}{r^2}} \)

mit "Epsilon-Null": \( \epsilon_0 = 8,854·10^{-12} \) \( {\textnormal{As}}\over{\textnormal{Vm}} \)



Aufgabe

Zwei elektrisch geladene Körper mit Ladungen von 3 mC und 750 mC befindet sich in einem Abstand von 4 cm zueinander.

a) Berechne die Kraft, die aufgrund ihrer Ladungen auf die Körper wirkt.

b) Gib die Richtung an, in der die Kraft wirkt.

Lösungen

a) 12,64 MN

b) Jeweils vom anderen Körper weg, da sie die gleiche Polung haben.


Elektrisches Feld (kurz E-Feld)

Im Raum um einen elektrisch geladenen Körper besteht ein elektrisches Feld. In diesem wirken auf geladene Körper Kräfte. Sind zwei Körper unterschiedlich geladen, so herrscht zwischen ihnen ein elektrisches Feld, das vom positiv zum negativ geladenen Körper gerichtet ist.


Die grafische Darstellung von E-Feldern nennt man Feldlinienbilder. Die Feldlinien verlaufen immer von der positiven Ladung zur negativen und stehen senkrecht auf den Polen. Sie zeigen für jede Position an, in welche Richtung die Kraft auf eine positive Ladung wirken würde.



Technische Anwendung

Ein Elektrofilter nutzt die Eigenschaft, dass geladene Körper angezogen/abgestoßen werden. Dazu lädt er seine Außenwand auf und erzeugt im Innern eine entgegengesetzt gepolte Elektronenwolke. Die Elektronen setzen sich an Staubteilchen ab, welche dann zur Außenwand gezogen werden und mit der Zeit abfallen.


Plattenkondensator (kurz Plako)

Aufbau

Zwei parallele Metallplatten werden an eine Spannungsquelle U angeschlossen. Durch die Spannung „kondensieren“ (verdichten) an einer Platte die Elektronen (gesamte Ladung –Q) und an der anderen werden ebenso viele abgezogen (Ladung +Q). Zwischen den geladenen Platten entsteht ein homogenes E-Feld.



Experiment: Stärke des Feldes messen

Es wird ein Kraftmesser mit einer elektrischen Ladung zwischen die Platten gebracht. Für verschiedene Ladungen q wird die Kraft F gemessen, die auf diese Ladung wirkt.

Ergebnis: Ladung und Kraft sind proportional. Der Proportionalitätsfaktor ist die Stärke E des E-Feldes.


Elektrische Feldstärke E

Definition von E

Der Quotient (Proportionalitätsfaktor) aus Kraft und Ladung ist immer gleich und gibt die Stärke des Feldes an.

E = \( \frac{\textcolor{var(--gruen)}{F}}{\textcolor{var(--blau)}{q}} \)

Einheit: [E] = \( \frac{N}{C} \) "Newton pro Coulomb"



Analogie zur Schwerkraft

F = qE (Ladung mal Feldstärke)
F = mg (Masse mal Ortsfaktor )


E mittels Auslenkung bestimmen

Aufbau

Eine geladene Kugel wird im elektrischen Feld eines Plattenkondensators an einem Faden der Länge L hängend durch die elektrische Kraft um das Stück s ausgelenkt. Die Kugel habe die Masse m und trage die positive Ladung q.



Auswertung

Die Auslenkung erfolgt so weit, bis die resultierende Kraft \( F_R \) aus \( F_G = m \cdot g \) und \( F_E = q \cdot E \) in Verlängerung des Fadens zeigt.

\( E = \frac{s \cdot m \cdot g}{L \cdot q} \)

Herleitung

Für kleine Winkel gilt: sin(a) ≈ tan(a)
\( \frac{s}{L} = \frac{F_E}{F_G} \) -> \( \frac{s}{L} = \frac{q \cdot E}{m \cdot g} \) -> \( \frac{s \cdot m \cdot g}{L} = q \cdot E \) -> \( \frac{s \cdot m \cdot g}{L \cdot q} = E \) \( E = \frac{s \cdot m \cdot g}{L \cdot q} \)



Beispiel

Eine Kugel der Masse m = 0,5 g mit der Ladung q = 1,5 nC hängt an einem l = 2m langen Faden und wird im elektrischen Feld s = 6,0 cm weit ausgelenkt. (g ist 9,81 N/kg) Berechne die Feldstärke E.

\( E = \frac{s \cdot m \cdot g}{L \cdot q} = \frac{0,06 \cdot 0,0005 \cdot 9,81}{2 \cdot 1,5E-9} = 98100 N/C \)



Aufgabe

Ein Kügelchen der Masse m = 0,40 g, das an einem Faden der Länge L = 1,0 m hängt und die Ladung q = 5,0 nC trägt, befindet sich in einem homogenen elektrischen Feld der Stärke E = 70 kN/C.

a) Berechne den Ausschlag s, um den sich das Kügelchen aus der Ruhelage bewegt.

b) Das Kügelchen berührt nun die negativ geladene Platte, trägt dann die Ladung q = −5,0 nC und pendelt in 10 Sekunden zwischen beiden Platten 40mal hin und 40mal her. Berechne die mittlere Stromstärke I.
(Erinnerung: I = „fließende Ladung pro Sekunde“)

Lösung

a) Gegeben: m = 0,40 g, L = 1,0 m, q = 5,0 nC, E = 70 kN/C
Gesucht: s
Formel nach s umstellen und einsetzen: s = 8,9 cm

b) Gegeben: m = 0,40 g, l = 1,0 m, q = 5,0 nC, E = 70 kN/C
Zusätzlich gegeben: n = 40, t = 10 s
Gesucht: I
5,0 nC an Elektronen wird an der negativen Seite aufgenommen und an der positiven abgegeben. Zusätzlich werden 5,0 nC an der positiven abgegeben und an der negativen aufgenommen.
Insgesamt werden in 10 s also 40mal 10 nC transportiert.
I = "Ladung pro Zeit" = 400 nC : 10 s = 40 nA


Zusammenhang von Q und I

\( I = \frac{Q}{t} \) (Stromstärke ist Ladung pro Zeit)
Wird über eine bestimmte Zeit \( t \) eine Ladung \( Q \) übertragen, so spricht man von elektrischem Strom \( I \). Die Stromstärke gibt dabei an, wie viel Ladung pro Zeit fließt (z.B. wie viel Coulomb pro Sekunde).

Oder umgekehrt:
\( Q = I \cdot t \) (Ladung ist Stromstärke mal Zeit)
Fließt über einen Zeitraum \( t \) ein Strom der Stärke \( I \), so ist insgesamt eine Ladung von \( Q \) geflossen .
Fließt z.B. für 5 Sekunden ein Strom der Stärke 80 mA, so sind dabei 80 mA · 5 s = 400 mC geflossen.



Filmleiste zur Ladungsübertragung


Ladungsmenge Q im Kondensator

Ziel

Die im Kondensator gespeicherte Ladung bestimmen.



Methode

Den Kondensator über einen Widerstand entladen und dabei den Strom (U = RI) messen, der fließt. Dies mit einem zweiten Widerstand wiederholen.



Material

Kondensator (C1 = 1000 μF oder C2 = 470 μF), Widerstände (R1 = 10 kΩ und R2 = 47 kΩ), Spannungsquelle (U = 12 V Gleichspannung), Voltmeter, Stoppuhr (Handy).



Schaltung



Auswertung

Ein t-I-Diagramm zur Messung zeichnen. Der Flächeninhalt unter dem Graphen entspricht der gesamten Ladung, die abgeflossen ist. Um sie zu ermitteln, teilt man sie in Rechtecke ein, berechnet deren Flächen und zählt sie zusammen.


Ladungsmenge Q mit Graph

Mit dem GTR

- Messwerte in Listen eingeben.

- Regression durchführen:
[STAT] -> [CALC] -> "ExpReg"
-> L1, L2 ausfüllen
-> Store: Y1 ([VARS] -> Y-VARS -> "Function")
um die Gleichung zu speichern

- Graph anzeigen und Windows passend einstellen.

- Fläche berechnen:
[2ND], [CALC] -> "Sf(x)dx" -> linke und rechte Grenze eingeben



Mit Kästchen zählen

Falls der Graph nicht vorliegt, zeichnet man aus den Messwerten ein möglichst genaues t-I-Diagramm.

Darin zählt man zunächst die ganzen Kästchen, die unterhalb des Graphen liegen.

Dann fasst man jeweils angebrochene Kästchen zu ganzen zusammen und zählt die so zusammengefügten.

Gesamtanzahl = "ganze" + "zusammengefügte" = 44 + 14 = 58

Ein Kästchen entspricht in diesem Diagramm 0,5 s ∙ 0,5 A = 0,25 C

58 ∙ 0,25 C = 14,5 C



Mit Ober-/Untersumme

(Ist mathematisch genauer, aber auch zeitaufwendiger. Kästchen zu zählen genügt im Allgemeinen.)


Kapazität C

Die im Kondensator gespeicherte Ladung hängt von seinen geometrischen Eigenschaften ab:

Q = ε0 · A · \( \frac{\textcolor{var(--orange)}{U}}{\textcolor{var(--gruen)}{d}} \)

Q: Ladung
A: Plattenfläche
U: Spannung
d: Plattenabstand

"Epsilon-Null": ε0 = 8,854 · 10-12 \( {\textnormal{As}}\over{\textnormal{Vm}} \)



Bei einem Plattenkodensator sind ε0, A und d immer gleich. Sie werden als Kapazität C zusammengefasst:

C = ε0 · \( \frac{\textcolor{var(--lila)}{A}}{\textcolor{var(--gruen)}{d}} \)

Q = C · U
"Kuh" = "Kuh"

C gibt damit an, wie viele Elektronen ein Kondensator fassen kann, wenn eine bestimmte Spannung anliegt.

Einheit: [C] = 1 F (Farad)
1 Farad bedeutet, dass bei einer Spannung von 1 V eine Ladung von 1 C gespeichert wird.



Link: Quiz zur Formel

Aufgabe: Zwei Kondensatoren

Vorne stehen zwei Kondensatoren.
Links quadratisch: U = 12 V, d = 0,06 m, A = 0,2 m*0,2 m = 0,04 m²
Rechts rund: U = 4000 V, d = 0,02 m, A = Pi*r² = 0,051 m²

a.) Bestimme die Kapazität der beiden Kondensatoren.

b.) Berechne die Ladung, die in den Kondensatoren gespeichert ist.

Lösungen

a.) CL = 5,90 pF, CR = 22,6 pF

b.) QL = 65,4 pC, QR = 90,4 nC



Aufgabe: Diagramm

Das Diagramm zeigt die Ladung zweier Kondensatoren in Abhängigkeit von der Spannung. Bestimme die Kapazitäten C1 und C2 der Kondensatoren.

Lösungen

Die Kapazitäten entsprechen der jeweiligen Steigung:
C1 = 0,5 : 4 = 0,125 F
C2 = 0,25 : 4 = 0,0625 F


Dielektrikum

Frage: Ändert es etwas am Kondensator, wenn anstatt Luft ein anderes Medium zwischen den Platten ist?

Antwort: Durch das Medium zwischen den Platten (ein "Dielektrikum") steigt die Kapazität.



Formel

Die Steigerung der Kapazität wird durch einen weiteren Faktor εr in der Formel angegeben, die "relative Permittivität" oder "Dielektrizitätszahl"

C = εr · ε0 · \( \frac{\textcolor{var(--lila)}{A}}{\textcolor{var(--gruen)}{d}} \)



Abhängigkeit vom Material

Vakuum: εr = 1 (genau)
Luft: εr = 1,00059
Wasser: εr = 1,77
Glas: εr = 6 bis 8
Methanol: εr = 32,6
Bariumtitanat: εr = 1 000 bis 10 000



Simulation: Kondensatorlabor



Aufgaben

1) Berechne die Kapazität eines luftgefüllten (εr = 1,00059) Plattenkondensators, dessen Platten den Flächeninhalt 0,900 m2 und den Abstand 2,50 mm besitzen.

2) Berechne den Plattenabstand eines luftgefüllten Plattenkondensators mit zwei quadratischen Platten der Seitenlänge 20 cm und der Kapazität 350 pF.

3) Berechne die Dielektrizitätszahl des Materials in einem Plattenkondensator, dessen Platten den Flächeninhalt 9,0 dm2 und den Abstand 3,0 mm haben und der die Kapazität 8,5⋅10-10 F besitzt.

4) Berechne den Flächeninhalt der Platten eines mit einem Dielektrikum mit der Dielektrizitätszahl von 2,2 gefüllten Plattenkondensators, dessen Platten den Abstand 0,020 mm haben und der die Kapazität 2,0 µF besitzt.

Lösungen

Nicht schummeln!


Untersuchung von E, U und d

Mit einem Elektrofeldmeter, das die elektrische Feldstärke E misst, wird ein Plattenkondensator untersucht. Dabei wird E gemessen in Abhängigkeit von ...

a) der Spannung U, bei einem konstanten Abstand d.

b) dem Plattenabstand d, bei konstanter Spannung U.



Schritt 1: Notiere eine begründete Vermutung bzgl. des Einflusses von U bzw. d auf E.



Schritt 2: Zeichne das U-E- und das d-E-Diagramm zu folgenden Messwerten:

a) d konstant 28 mm.

U in kV 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50
E in kV/m 3,29 6,52 9,49 12,20 15,60

b) U konstant 0,4 kV.

d in mm 10 20 28 38 50
E in kV/m 40,0 20,2 14,0 10,45 8,15



Schritt 3: Leite daraus proportionale oder antiproportionale Zusammenhänge ab.



Schritt 4: Bilde damit eine Formel für E mit U und d.


Zusammenhang von E mit U und d

Im Plattenkondensator hängt die Feldstärke E von der anliegenden Spannung U und dem Plattenabstand d ab. Sie ist proportional zur Spannung und antiproportional zum Abstand.

E = U/d



Aufgaben

1) An einem Plako liegt eine Spannung von 2 kV an. Die Platten haben einen Abstand von 5 cm. Berechne die Stärke des elektrischen Feldes.

2) In einem Plako herrscht ein elektrisches Feld der Stärke 33 kN/C. Die Platten besitzen einen Abstand von 6 cm. Berechne die Spannung, die an dem Plako anliegt.

(Hieran bemerkt man die Einheiten: N/C = V/m)

Lösungen

1) Gegeben: U = 2 kV, d = 5 cm
Gesucht: E
E = U/d = 2 kV / 5 cm = 40.000 V/m

2) Gegeben: E = 33 kN/C, d = 6 cm
Gesucht: U
E = U/d -> U = Ed = 33 kN/C ∙ 6 cm = 1.980 V


Elektronenkanone

Elektronenkanone bei alten Röhren-Fernsehern



Aufbau und Funktionsweise


Elektronen-Geschwindigkeit v

Aus den Formeln der Feldstärke und zwei Energien kann eine Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit v der Elektronen in einer Elektronenkanone hergeleitet werden.



Ansätze:

E = U/d

E = F/q -> E∙q = F

Energie allgemein: W = F∙s

Kinetische Energie: Wkin = 1/2∙mv2



Energieerhaltung:

W = Wkin
F∙s = 1/2∙mv2
2∙F∙s = mv2
\(\frac{\text{2∙F∙s}}{\text{m}}\) = v2
\(\sqrt{\frac{\text{2∙F∙s}}{\text{m}}}\) = v
Wurzel(2∙E∙q∙s/m) = v
Wurzel(2∙U/d∙q∙s/m) = v
Wurzel(2∙U∙q/m) = v



Für Elektronen gilt:

q = e = 1,6∙10-19 C
m = me = 9,1∙10-31 kg



Eingesetzt und umgestellt:

v = Wurzel(2∙Ue/me)


Fragenkatalog

Grundlegende Fragen

(Sollten ausführlich beantwortet werden können.)
  1. Was beschreiben E-Felder und was bedeutet die Richtung der Pfeile?
  2. Wie unterscheidet sich ein homogenes Feld von dem einer Punktladung?
  3. Welche Einheit hat die Ladung?
  4. Was bedeutet "elektrische Feldstärke"?
  5. Wie wertet man eine Messreihe aus? (Z.B. bei der Feldstärke)
  6. Wie funktioniert die Bestimmung der Feldstärke mittels Kraftmessung?
  7. Welchen Zusammenhang haben die Ladung und die Stromstärke?
  8. Wie ist die elektrische Spannung definiert?
  9. Welchen Zusammenhang hat die Feldstärke in einem Plako zur anliegenden Spannung?
  10. Wie funktioniert die Elektronenkanone und wie schnell sind die Elektronen?
  11. Wie bestimmt man die Ladung auf einem Kondensator beim Entladen?
  12. Welchen t-I-Zusammenhang hat eine Kondensatorentladung und wie verläuft Graph?
  13. Was bedeutet "Kapazität" bei einem Kondensator?
  14. Wovon ist die Kapazität abhängig und wie lauten die Formeln?


Ergänzende Fragen

(Sollten zumindest knapp beantwortet werden können.)
  1. Welche Vorsilben kommen bei den Einheiten vor und welcher Zehnerpotenz entsprechen sie?
  2. Wie leitet man schrittweise anhand zweier Energien die Geschwindigkeits-Formel in der Elektronenkanone her?
  3. Wie kommt der kurvenartige Verlauf der Elektronenflugbahn in der Braunschen Röhre genau zustande?