Eine Schwingung ist eine Bewegung, die sich periodisch nach gleichen Zeiten wiederholt und dabei durch ihre Ruhelage verläuft.
Harmonische Schwingung
Man nennt eine Schwingung harmonisch, wenn man sie mit einer Sinuskurve beschreiben kann. Den schwingenden Körper nennt man Oszillator. Er schwingt in gleichblebender Dauer von Umkehrpunkt durch die Ruhelage zu Umkehrpunkt Hin und Her.
Die einfachste Sinusfunktion lautet: s(t) = sin(t)
Damit kann man die Elongation s eines harmonisch schwingenden Oszillators mit einer Amplitude von \( \hat{s} \) = 1 und einer Periodendauer von T = 2 \( \pi \) berechnen, der genau zum Zeitpunkt t = 0 anfängt zu schwingen.
Allgemeine Gleichung
Den Gefallen, so einfach zu sein, tun uns die meisten Oszillatoren nicht. Sie haben andere Werte, mit denen wir die Sinusfunktion anpassen müssen. Sie lautet dann:
a entspricht \( \hat{s} \); b entspricht \( \omega \), c entspricht \( \Delta \phi \), d benötigen wir nicht.
Zusammenhang: Sinus und Kosinus
Eine Kosinusfunktion ist eine Sinusfunktion, die um die Phase \( \Delta \phi \) = ½ \( \pi \) verschoben wurde.
Umrechnung: Grad und Bogenmaß
Bogenmaß = Grad ∙ \( \pi \) : 180
Grad = Bogenmaß ∙ 180 : \( \pi \)
Übergang: Schwingung zu Welle
Wenn ein Oszillator mit benachbarten Objekten, die ebenso schwingen können, verbunden ist, überträgt er seine Schwingung auf sie. So entsteht eine Welle (siehe Animation). Dabei wird die Geschwindigkeit der Ausbreitung durch die Trägheit der Verbindungen bestimmt.
Harmonische Welle
Lässt sich eine Welle mit einer Sinusfunktion beschreiben, so wird sie harmonisch genannt. Das ist auch dann der Fall, wenn die Quelle bzw. die einzelnen Oszillatoren harmonisch schwingen. Dabei gibt es Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen harmonischen Wellen und harmonischen Schwingungen.
Größen zur Beschreibung einer harmonischen Welle:
Amplitude ŷ in m: Größte Auslenkung
Elongation s in m: Momentane Auslenkung
Phase φ als Winkel: Momentaner Winkel in der Sinusfunktion
Wellenlänge λ in s: Länge zwischen zwei gleichschwingenden Oszillatoren (z.B. von Maximum zum nächsten Maximum)
Frequenz f in Hz: Anzahl Schwingungen pro Sekunde
Ausbreitungsgeschwindigkeit c in m/s: Selbsterklärend (Bei elektromagnetischen Wellen ist dies die Lichtgeschwindigkeit)
Wie bei einer Schwingung:
- Sinusförmiger Verlauf
- Amplitude ŷ
- Frequenz f (aber anders berechnet)
- Elongation s bzw. Phase φ
Anders als bei einer Schwingung:
- Wellenlänge λ anstatt Schwingungsdauer T
- Ausbreitungsgeschwindigkeit c
- Berechnung der Frequenz: f = \(\frac{c}{\lambda} \)
- x-y- anstatt t-s-Diagramm, wegen räumlicher Ausbreitung
Einstellungen: Oben links "oszillieren", oben rechts "kein Ende" und unten "Dämpfung" auf 0. Dann mit den anderen Einstellungen unten herumprobieren.
Aufgaben
Aufgabe 1: Frequenz von Meereswellen
Ein Mann beobachtet am Meer, dass - nachdem ihn eine Welle passiert hat - zehn weitere Wellen in 120 s an ihm vorbeiziehen. Berechne die Frequenz der Meereswelle. (0,0833 Hz)
Aufgabe 2: Wellen auf einem See
In einem See beobachten Sie den Wellengang. In einer Minute zählen Sie 10 Wellen, die Sie erreichen. Der Abstand von zwei Wellenbergen beträgt etwa 12m. Wie groß ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen? (2 m/s)
Aufgabe 3: Animation zu Wellenlänge und Frequenz
Löse die Aufgaben zur Animation auf der folgenden Website und vergleiche danach mit den dortigen Musterlösungen.
Zeichne mehrere Oszillatoren im Abstand von 1 cm zueinander, die eine harmonische Welle mit ŷ = 2 cm und λ = 8 cm darstellen.
Aufgabe 5: Wellenbad
In einem Schwimmbecken ist ein großer Gummiball eingebaut, der sich auf- und ab bewegt und so Wasserwellen erzeugt. Der Ball bewegt sich 18 Mal pro Minute auf und ab. Wird der Motor eingeschaltet, so dauert es 40 s, bis die erste Wellenfront auf den 50 m entfernten Beckenrand trifft.
a) Berechne die Ausbreitungsgeschwindigkeit c der erzeugten Wasserwelle. (Tipp: c = v = Strecke/Zeit) (1,25 m/s)
b) Bestimme die Frequenz f der erzeugten Welle. (0,3 Hz)
c) Berechne die Wellenlänge λ der erzeugten Welle. (4,16 m)
Aufgabe 6: Güterzug als Welle
Man kann sogar ganze Züge als Welle betrachten und dadurch Berechnungen durchführen. Bei einem Güterzug fahren 15 Waggons in 12 s vorbei. Jeder Waggon hat eine Länge von 14 m. Ein Waggon entspricht einer Wellenlänge.
a) Berechne die Frequenz, mit der die Waggons vorbeifahren. (c = 17,5 m/s, f = 1,25 Hz)
b) Berechne die Geschwindigkeit des Zuges in m/s und in km/h. (17,5 m/s; 63 km/h)
Aufgabe 7: Frequenz und Periodendauer im Diagramm
Man sagt, dass Wellen Energie übertragen können, ohne dabei Materie zu übertragen. Erkläre diese Aussage.
Transversale und longitudinale Ausbreitung
Transversalwelle (Querwelle)
Schwingung quer zur Ausbreitungsrichtung. Ein Oszillator zieht erst seinen Nachbarn nach oben und danach nach unten.
Schwingung längs zur Ausbreitungsrichtung. Ein Oszillator drückt erst seinen Nachbarn nach vorne und zieht ihn danach nach hinten.
Beispiele: Verbundene Fadenpendel, Schallwellen, Signal aus Kopfhörern.
Achtung: Wasserwellen sind eine Mischung aus beiden bzw. weder-noch!
Aufgaben
Aufgabe 1: Vorsilben bei elektromagnetischen Wellen
Rechnerisch ist diese Aufgabe total langweilig… aber es gibt euch eine Einordnung verschiedener elektromagnetischer Wellenlängen und ihrer Vorsilben.
Berechne die jeweilige Wellenlänge λ mit einer Ausbreitungsgeschwindigkeit von c = 300.000 km/s (3E8 m/s). Gib dabei die Wellenlängen wieder mit Vorsilben an. (Also Milli, Mikro, ...)
Vorsilben: kilo: k = 103, Mega: M = 106, Giga: G = 109, Tera: T = 1012, Peta: P = 1015, Exa: E = 1018
Ultrakurzwelle (Radio ffn): f = 102,3 MHz
Handynetz: f = 900 MHz
Haushaltsübliche Mikrowelle: f = 2.450 MHz
Wärmestrahlung: f = 40 GHz
Rotes Licht: f = 385 THz
Blaues Licht: f = 615 THz
Röntgenstrahlung: f = 500 PHz
Gammastrahlung: f = 150 EHz
Beispiellösung: Haushaltsübliche Mikrowelle: 12,24 cm
Aufgabe 2: Je-desto-Beziehung
Welche der Aussagen ist/sind richtig, wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit konstant ist?
1) Je größer die Frequenz ist, desto länger ist die Wellenlänge.
2) Je größer die Frequenz ist, desto kürzer ist die Wellenlänge.
3) Je kleiner die Frequenz ist, desto länger ist die Wellenlänge.
4) Je kleiner die Frequenz ist, desto kürzer ist die Wellenlänge.
Aufgabe 3: Seilwelle im Diagramm
Mit Hilfe eines Seils lässt sich sehr einfach eine Transversalwelle erzeugen. Die beiden Diagramme zeigen zum einen die Momentaufnahme der Seilwelle und zum anderen den Verlauf der Schwingung eines "Seilteilchens".
a) Gib an, welches der beiden Diagramme die Momentaufnahme der Welle ist und welches die Schwingung eines Seilteilchens darstellt. Begründe deine Entscheidung.
b) Bestimme die Amplitude, die Frequenz, die Schwingungsdauer und die Wellenlänge der Seilwelle.
c) Berechne die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Seilwelle.
d) Angenommen, du würdest nur das linke Diagramm der Welle kennen: Gib einen Grund an, warum du damit sofort die Behauptung "Das Diagramm stellt eine hörbare Schallwelle in Luft dar" widerlegen könntest.
Elektromagnetische Wellen
Bei elektromagnetischen Wellen gibt es kein schwingendes Medium bzw. keine Massestücke, die schwingen. Sie breiten sich immer mit derselben Geschwindigkeit aus, der Lichtgeschwindigkeit:
Circa: c = 300.000.000 m/s
Je nach Wellenlänge bzw. Frequenz werden verschiedene Arten unterschieden:
Polarisation (linear)
Transversalwellen können (z.B. mit einer Polarisationsfolie, per Reflexion oder mit gerichteten Kristallen in LCD-Displays) polarisiert werden. Dabei liegt die Schwingungsrichtung in einer festen Ebene. Bereits polarisierte Wellen werden bei Durchgang eines weiteren Filters im Winkel α um den Faktor cos(α)2 abgeschwächt. Dies wird z.B. bei LCD-Displays oder für Brillen beim Angeln, Autopfahren oder im 3D-Kino genutzt.
Inbesondere:
Stelle zunächst nur einen weiteren Filter auf und variiere seinen Winkel. Was fällt auf?
Stelle ihn dann auf 90°. Was fällt auf?
Füge dann einen weiteren Filter hinzu und variiere seinen Winkel. Was fällt auf?
Erkläre was bei 45° zu sehen ist und wie groß die Intensität am Ende noch genau ist.
Aufgaben: Abituraufgabe 2013 (Aufgabe II, Nachschreiber), Aufgabe 2
Experiment
Aufgabe
Bestimmt zu zweit/dritt die Winkelabhängigkeit der Durchlässigkeit eines Polarisationsfilters mit einem Lichtsensor. Stellt dabei einen Zusammenhang zwischen dem Winkel der Polarisation und der Intensität des durchscheinenden Lichts her.
Aufbau
Finale Reihenfolge: LED - Filter 1 - Filter 2 - Fotodiode
Die optische Bank aus zwei Metallstäben und zwei Standfüßen zusammensetzen.
Die LED weiß und die Fotodiode jeweils in einen Blendenhalter stecken.
Die LED an die Spannungsquelle (Current auf max.) anschließen, dabei auf die richtige Polung achten!
Einen Störlichttubus (kleines schwarzes Röhrchen) auf die LED und einen anderen Störlichttubus (anderes kleines schwarzes Bauteil) auf die Fotodiode stecken.
Das Multimeter als Voltmeter (Kabel in COM und V, Drehschalter auf V⎓) an die Fotodiode anschließen.
Die beiden Polarisationsfilter (Nr. 09851.14) je in einen Blendenhalter mit Winkelskala platzieren.
Den Objekthalter des ersten Polarisationsfilters so hinstellen, dass der Filter den Tubus der LED fast berührt.
Den zweiten Polarisationsfilter so nah wie möglich an den ersten platzieren.
Die Fotodiode direkt hinter den 2. Polarisationsfilter setzen.
Durchführung
Für die Durchführung dieses Experiments ist es notwendig, dass der Raum abgedunkelt ist.
Den Regler der Verstärkung der Fotodiode mit dem Uhrzeigersinn bis zur maximalen Verstärkung drehen.
Beide Polarisationsfilter auf 0° stellen.
Spannung der LED so einstellen, dass die Fotodiode im sensitiven Bereich und nicht übersteuert ist. (Der maximale Messwert liegt bei etwa 3,9 V - die LED sollte so eingeregelt werden, dass der gemessene Wert knapp darunter liegt und die Fotodiode sowohl nach oben als auch nach unten reagieren kann).
Den Spannungswert der Fotodiode in einer Tabelle notieren. (Verdrehung in ° und Spannung in V.)
Der zweite Polarisationsfilter (der der Fotodiode näher ist) wird in 10°-Schritten rechts herum bis 100° gedreht und jeweils der Spannungswert der Fotodiode in der Tabelle notiert.
Anschließend wird der Polarisationsfilter wieder auf 0° gestellt und in 10°-Schritten links herum bis 100° verdreht, wobei die Messwerte auch jeweils wieder notiert werden.
(Zusatz: Betrachtet euer Handy durch einen Polarisationsfilter, während ihr ihn dreht.)
Auswertung
1) Trage in ein Koordinatensystem die gemessene Spannung gegen die Verdrehung auf.
2) Skizziere eine Ausgleichskurve durch die Messpunkte und bestätige, dass sie sich wie Cos(x)2 verhalten.
3) Formuliere basierend auf dem Graphen eine Eigenschaft für linear polarisiertes Licht.
4) Nehme einen der Polarisationsfilter und blicke damit in den blauen Himmel. Drehe den Filter - was fällt auf? Welche Schlüsse kann man daraus ziehen?
Interferenz
Wenn Wellen sich überlagern (interferieren), addieren sich ihre Sinuskurven bzw. Auslenkungen. In bestimmten Fällen können sie sich dabei gegenseitig maximieren (konstruktive Interferenz bei "Berg auf Berg") oder sich gegenseitig aufheben (destruktive Interferenz bei "Berg auf Tal").
Allgemeine Überlagerung:
konstruktive Interferenz;
destruktive Interferenz:
Beispiel:
Im Bild ist die Überlagerung (Interferenz) zweier Wasserwellen zu sehen. Dabei entstehen Bereiche, in denen sich die Wellen gegenseitig aufheben (destruktive Interferenz) und Bereiche, in denen sie sich gegenseitig maximieren (konstruktive Interferenz).
Destruktive Interferenz: Wellenberge treffen auf -täler. Die Elongationen ergeben zusammen 0.
Konstruktive Interferenz: Wellenberge treffen auf Wellenberge und Wellentäler treffen auf Wellentäler. Die Elongationen addieren sich zum Doppelten.
Zeichne zwei sich überlagernde Wellen sowie ihre Resultierende mit Wellenlängen von 6 cm, Amplituden von 1,5 cm und Phasenverschiebungen von 0,1-mal; 0,6-mal und 0,25-mal der Wellenlänge. (Drei Koordinatensysteme mit jeweils einer Schwingungslänge)
Folgt noch: Bestimmung von Wellenlängen: Experiment mit zwei Sendern beschreiben
Animation der beiden Wellen
Schwebung
Mit dem Ton-Generator erkunden
- Gehe zum „Online Tone Generator“ (Link).
- Spiele erst den Ton mit 500 Hz ab (On/Off).
- Schalte ihn wieder ab und spiele den Ton mit 520 Hz.
- Schalte nun beide an und achte auf einen seltsamen Effekt.
- Verringere die zweite Frequenz auf 510 (505, 503, 502, 501) Hz.
- Beschreibe den wahrnehmbaren Effekt.
- Stelle die Frequenzen auf 500 und 510 Hz. Dann auf 300 und 310 Hz. Schließlich auf 700 und 710 Hz. Ist der Effekt von den Frequenzen oder ihrer Differenz abhängig? Ergänze.
Mit Sinuskurven in GeoGebra erkunden
- Gehe zur vorbereiteten GeoGebra-Datei (Link).
- Zoome und verschiebe das Arbeitsblatt so, dass die Kurven und die Schieberegler gut zu erkennen sind. (Tipp: Querformat)
- Die blaue Kurve entspricht zunächst 500 Hz und die grüne 520 Hz. Die gestrichelte orangene Kurve entspricht der Summe beider Kurven (die sogenannte „Resultierende“). Verändere die grüne Frequenz durch hin- und herschieben des Reglers. Beschreibe die Auswirkung auf die Resultierende sowie das Zustande-kommen ihrer Frequenz. Nutze dazu eine Skizze.
- Verändere nun beide Frequenzen und bestätige damit, dass die Frequenz der Resultierenden nur von der Differenz der einzelnen Frequenzen abhängt. Ergänze dies schriftlich.
Zusammenfassung
Wahrnehmbarer Effekt: Man hört einen pulsierenden Dauerton. Je geringer die Differenz der Frequenzen, desto langsamer pulsiert der Ton. Dabei ist es unabhängig davon, wie hoch sie sind.
Erklärung: Die Resultierende, die durch Überlagerung beider Wellen (blau und gruen) entsteht, zeigt abwechselnd Bereiche geringer Auslenkungen und größer Auslenkungen. Je höher die Differenz der Frequenzen ist, desto kürzer ist die Zeit zwischen den Veränderungen der Auslenkungen der resultierenden Kurve.
Reflexion
Man unterscheidet zwischen der Reflexion an einem festen Ende und an einem losen Ende.
Beim festen Ende wirkt eine Gegenkraft. Daher kommt es zu einem Phasensprung von 180° bzw. π: Berg wird Tal
Beim losen Ende schwingt das Ende mit. Es kommt nicht zu einem Phasensprung: Berg bleibt Berg
Stehende Welle
Überlagern sich die hinlaufende und die reflektierte Welle, so kann es zu einer stehenden Welle kommen. Sie ist durch ortsfeste Knoten (keine Schwingung) und Bäuche (maximale Schwingung) gekennzeichnet.
Dabei entspricht die Länge zweier Bäuche der Wellenlänge der ursprünglichen Wellen.
Fragenkatalog
Wie breiten sich harmonische Wellen aus?
Wie kann man harmonische Wellen grafisch darstellen?
Was sind die Periodendauer, die Ausbreitungsgeschwindigkeit, die Wellenlänge, die Frequenz, die Amplitude und die Phase?
Welchen Zusammenhang haben Wellenlänge und Frequenz? Wie lautet die Gleichung dazu?
Was ist der Unterschied zwischen longitudinalen und transversalen Wellen?
Was versteht man unter (linearer) Polarisation?
Bei welchen Wellen ist Polarisation möglich?
Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen dem Winkel der Polarisierung und der Intensität bei einem Paar von Polarisationsfiltern?
Was hat Polarisation mit einem LCD-Bildschirm zu tun?
Wie kann man die Interferenz zweier Wellen in einem Diagramm darstellen?
Welche Extremfälle von Interferenz gibt es und wann kommen sie zustande?
Wie kann man mit zwei Sendern und einem Empfänger die Wellenlänge von Ultraschall bestimmen?
Antworten
Mögliche Antworten zu den Fragen in kurzer Form könnten sein:
Ausgehend von einem harmonisch schwingenden Oszillator (der Quelle) wird die Schwingung auf einen benachbarten Oszillator übertragen. Aufgrund einer Verzögerung breitet es sich wie eine Welle aus.
Mit einer Sinuskurve samt Amplitude, Wellenlänge und Phase (Anfangszustand).
Periodendauer: Dauer einer vollen Schwingung.
Ausbreitungsgeschwindigkeit: Geschwindigkeit, mit der sich die Schwingung im Raum überträgt.
Wellenlänge: Räumliche Länge einer vollen Schwingung
Frequenz: Anzahl Schwingungen pro Sekunde
Amplitude: Maximale Auslenkung
Phase: Anfangszustand der Auslenkung
Ihr Produkt ergibt die Ausbreitungsgeschwindigkeit. f = c/λ
Bei longitudinalen Wellen schwingen die Oszillatoren entlang der Ausbreitungsrichtung und bei transversalen Wellen quer dazu.
Das die Schwingung der Oszillatoren in einer festen Ebene liegt.
Bei transversalen Wellen.
Die ursprüngliche Intensität wird mit dem Faktor cos(α)2 multipliziert. α entspricht dabei dem Winkel zwischen den Polarisationsrichtungen der Filter.
LCD-Bildschirme nutzen Polarisationsfilter, um die einzelnen Pixel bzw. Leuchtdioden abzudunkeln.
Man trägt die Sinuskurven beider Wellen in ein gemeinsames Diagramm ein. Die Summe der Auslenkungen zu jedem Zeitpunkt ergibt dann die Sinuskurve der resultierenden Welle.
Konstruktive Interferenz, wenn der Gangunterschied einem ganzzahligen Vielfachen der Wellenlänge entspricht. Die Amplituden addieren sich dann maximal.
Destruktive Interferenz, wenn der Gangunterschied einer halben Wellenlänge zusätzlich zum ganzzahligen Vielfachen entspricht. Die Wellen löschen sich dann nahezu aus.
Die Antwort ist bekannt.
Klausurthemen
Schwingungen:
Grundlagen, die für Wellen nötig sind.
Wellen:
Harmonische Wellen: Größen nennen/erkennen und Frequenz und Wellenlänge umrechnen.
Longitudinale und transversale Wellen: Beschreiben und Beispiele nennen.
Polarisation: Effekt beschreiben und Winkelabhängigkeit der Intensität auswerten.
Interferenz zweier Wellen: Beschreiben und mit Sinuskurven darstellen.
Ultraschall: Wellenlänge mit zwei Sendern ermitteln (Experiment beschreiben und auswerten).
(Quelle: codixx.de/home/wissensecke/polarisation)
