Thema: Schwingungen und Wellen


Allgemeine Schwingungen

LEIFI-Animationen

Link: Animierte Schwingungen (siehe dort Abb. 1)

Eine Schwingung ist eine Bewegung, die sich periodisch nach gleichen Zeiten wiederholt und dabei durch ihre Ruhelage verläuft.


Harmonische Schwingung

Man nennt eine Schwingung harmonisch, wenn man sie mit einer Sinuskurve beschreiben kann. Den schwingenden Körper nennt man Oszillator. Er schwingt in gleichblebender Dauer von Umkehrpunkt durch die Ruhelage zu Umkehrpunkt Hin und Her.

Alternative Definition: Man nennt eine Schwingung harmonisch, wenn die zur Ruhelage rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung ist. (siehe Federpendel)

Größen zur Beschreibung einer harmonischen Schwingung:


Umrechnung zwischen T und f: f = \( \frac{1}{T} \)


Sinusfunktion

Einfachste Gleichung

Die einfachste Sinusfunktion lautet: s(t) = sin(t)
Damit kann man die Elongation s eines harmonisch schwingenden Oszillators mit einer Amplitude von \( \hat{s} \) = 1 und einer Periodendauer von T = 2 \( \pi \) berechnen, der genau zum Zeitpunkt t = 0 anfängt zu schwingen.



Allgemeine Gleichung

Den Gefallen, so einfach zu sein, tun uns die meisten Oszillatoren nicht. Sie haben andere Werte, mit denen wir die Sinusfunktion anpassen müssen. Sie lautet dann:

s(t) = \( \hat{s} \cdot \) sin(\( \omega \cdot t + \Delta \phi \))



Veranschaulichung

Link: GeoGebra: Sinusfunktion

a entspricht \( \hat{s} \); b entspricht \( \omega \), c entspricht \( \Delta \phi \), d benötigen wir nicht.



Zusammenhang: Sinus und Kosinus

Eine Kosinusfunktion ist eine Sinusfunktion, die um die Phase \( \Delta \phi \) = ½ \( \pi \) verschoben wurde.



Umrechnung: Grad und Bogenmaß

Bogenmaß = Grad ∙ \( \pi \) : 180

Grad = Bogenmaß ∙ 180 : \( \pi \)


Oszilloskop ablesen

Folgt mit Bild


Federpendel

Lineares Kraftgesetz: Formel für die Rückstellkraft \( F \):

\( F = D \cdot \Delta s \)

Formel für die Schwingungsdauer \( T \):

\( T = 2 \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{D}} \)

\(F\): Rückstellkraft, \(D\): Federkonstante, \(\Delta s\): Auslenkung, \(m\): Masse


Übergang: Schwingung zu Welle

Wenn ein Oszillator mit benachbarten Objekten, die ebenso schwingen können, verbunden ist, überträgt er seine Schwingung auf sie. So entsteht eine Welle (siehe Animation). Dabei wird die Geschwindigkeit der Ausbreitung durch die Trägheit der Verbindungen bestimmt.


Harmonische Welle

Lässt sich eine Welle mit einer Sinusfunktion beschreiben, so wird sie harmonisch genannt. Dabei gibt es Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen harmonischen Wellen und harmonischen Schwingungen.

Größen zur Beschreibung einer harmonischen Welle:
Amplitude \( \hat{y} \) in m: Größte Auslenkung Elongation s in m: Momentane Auslenkung Phase \( \phi \) als Winkel: Momentaner Winkel in der Sinusfunktion Wellenlänge \( \lambda \) in s: Länge zwischen zwei gleichschwingenden Oszillatoren (z.B. von Maximum zum nächsten Maximum) Frequenz f> in Hz: Anzahl Schwingungen pro Sekunde Ausbreitungsgeschwindigkeit c in m/s: Selbsterklärend (Bei elektromagnetischen Wellen ist dies die Lichtgeschwindigkeit)

Wie bei einer Schwingung:
- sinusförmiger Verlauf
- Amplitude
- Frequenz (aber anders berechnet)
- Elongation bzw. Phase

Anders als bei einer Schwingung:
- Wellenlänge anstatt Schwingungsdauer
- Ausbreitungsgeschwindigkeit
- Berechnung der Frequenz: \( f = \frac{c}{\lambda} \)
- x-y- anstatt t-s-Diagramm, weil auch räumliche Ausbreitung


Link (PhET): Simulation einer harmonischen Welle
Einstellungen: Oben links "oszillieren", oben rechts "kein Ende" und unten "Dämpfung" auf 0.
Dann mit den anderen Einstellungen unten herumprobieren.


Transversale und longitudinale Ausbreitung

Transversalwelle (Querwelle)

Schwingung quer zur Ausbreitungsrichtung. Ein Oszillator zieht erst seinen Nachbarn nach oben und danach nach unten.
Beispiele: Verbundene Federpendel, schwingende Saite, elektromagnetische Wellen, Gravitationswellen.



Longitudinalwelle (Längswelle)

Schwingung längs zur Ausbreitungsrichtung. Ein Oszillator drückt erst seinen Nachbarn nach vorne und zieht ihn danach nach hinten.
Beispiele: Verbundene Fadenpendel, Schall.


Achtung: Wasserwellen sind eine Mischung aus beiden bzw. weder-noch!


Elektromagnetische Wellen

Bei elektromagnetischen Wellen gibt es kein schwingendes Medium bzw. keine Massestücke, die schwingen. Sie breiten sich immer mit derselben Geschwindigkeit aus, der Lichtgeschwindigkeit:

Circa: c = 300.000.000 m/s

Je nach Wellenlänge bzw. Frequenz werden verschiedene Arten unterschieden:


Interferenz

Im Bild ist die Überlagerung (Interferenz) zweier Wasserwellen zu sehen. Dabei entstehen Bereiche, in denen sich die Wellen gegenseitig aufheben (destruktive Interferenz) und Bereiche, in denen sie sich gegenseitig maximieren (konstruktive Interferenz).


Link (GeoGebra): Überlagerung zweier Sinusfunktionen


Beugung und Huygenssches Prinzip

Beugung

folgt samt Bild.



Huygenssches Prinzip

Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt einer neuen Elementarwelle aufgefasst werden. Umgekehrt kann auch jede Wellenfront als Zusammenfassung neuer Elementarwellen aufgefasst werden.

Veranschaulichung folgt.


Interferenz mit zwei Sendern

Link (PhET): Simulation von Interferenz (Wasser, Schall und Licht)

Folgt noch: Bestimmung von Wellenlängen: Experiment mit zwei Sendern beschreiben


Interferenz am Doppelspalt

An beiden Spalten beugen sich Elementarwellen und interferieren dahinter. Sie sind aufgrund der gleichen Quelle kohärent, haben also die gleiche Wellenlänge und eine feste Phasenbeziehung zueinander. Hinterm Doppelspalt entstehen Bereiche mit maximaler Intensität (konstruktive Interferenz) und minimaler Intensität (destruktive Interferenz).



Animation der beiden Wellen



Einflussgrößen

Kürzere WellenlängeMaxima dichter zusammen
Größere WellenlängeMaxima weiter auseinander

Spaltabstand kleinerMaxima weiter auseinander
Spaltabstand größerMaxima dichter zusammen




Berechnungen am Doppelspalt

Für das kleine Dreieck gilt: \( sin( \alpha ) = \frac{ k \cdot \lambda }{g} \)
Für das große Dreieck gilt: \( tan( \alpha ) = \frac{d}{a} \)
Mit \( \alpha = tan^{-1} (\frac{d}{a}) \) in \( sin( \alpha )\) eingesetzt und umgestellt, ergibt sich:

\( k \cdot \lambda = g \cdot sin(tan^{-1} (\frac{d}{a})) \)

Für kleine Winkel gilt \( sin( \alpha ) = tan( \alpha ) \) und somit

\( k \cdot \lambda = g \cdot \frac{d}{a} \)


Interferenz am Gitter

Im Vergleich zum Doppelspalt sind die Maxima des Interferenzmusters heller und schärfer abgegrenzt, da dort viele Wellen konstruktiv interferieren. In den Minima kommt es weiterhin zu einer völligen Auslöschung aufgrund destruktiver Interferenz. Zwischen diesen treten viele Nebenmaxima und -minima auf, da viele unterschiedlichse Phasen zusammentreffen.


Es werden zwei Gitter-Arten unterschieden:
Transmissiongitter: Die Wellen bewegen sich durch das Gitter und interferieren dahinter.
Reflexionsgitter: Die Wellen werden an einer reflektierenden Oberfläche, die Erhöhungen und Vertiefungen besitzt (z.B. eine CD), reflektiert und interferieren davor.


Vergleich von Interferenzmustern bei steigender Spaltanzahl:


Link (LEIFI): Simulation von Interferenzmustern (siehe dort Abb. 2)


Berechnungen am Gitter

Es gelten die gleichen Formeln wie beim Doppelspalt. Die Vereinfachung für kleine Winkel gilt beim Gitter jedoch nicht, da die Winkel zu groß sind.

Für das kleine Dreieck gilt: \( sin( \alpha ) = \frac{ k \cdot \lambda }{g} \)
Für das große Dreieck gilt: \( tan( \alpha ) = \frac{d}{a} \)
Mit \( \alpha = tan^{-1} (\frac{d}{a}) \) in \( sin( \alpha )\) eingesetzt und umgestellt, ergibt sich:

\( k \cdot \lambda = g \cdot sin(tan^{-1} (\frac{d}{a})) \)

Beispiel-Aufgabe

Ein optisches Gitter mit 5.000 Strichen pro cm wird mit parallelem weißem Licht senkrecht beleuchtet. 2,00 m hinter dem Gitter ist ein 3,20 m breiter Schirm so aufgestellt, dass das Hauptmaximum 0. Ordnung in seine Mitte fällt. Berechne die Wellenlänge des Lichts, das in 3. Ordnung genau am Rand des Schirms sichtbar ist.

Lösung

Bestimmung des Spaltabstands g: 5.000 pro cm entspricht 500.000 pro m und damit pro Strich 1:500000 m.

...


Michelson-Interferometer

Strahlengang:
(1) Quelle schickt einen Strahl Richtung Strahlteiler.
(2) Es entsteht ein reflektierter und ein durchgelassener Strahl.
(3) Die Strahlen reflektieren jeweils an den Spiegeln.
(4) Die Strahlen laufen wieder am Strahlteiler zusammen.
(5) Die Strahlen interferieren und werden am Empfänger wahrgenommen.